Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
x+y^{2}=9

Passo 1

O enunciado dá a curva \;x + y^{2} = 9 e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Vamos usar derivação implícita para obter \tfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Derivando ambas as parcelas de \;x + y^{2} = 9 em relação a x e lembrando que y é função de x, temos
\frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}(y^{2}) = \frac{d}{dx}(9)
1 + 2y\,\frac{dy}{dx} = 0
Portanto
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2y}.

Passo 3

Para tangente horizontal, precisamos de \tfrac{dy}{dx}=0. Então
-\frac{1}{2y} = 0
essa equação não tem solução real (o numerador é constante -1). Logo, não há pontos de tangente horizontal nesta curva.

Passo 4

Para tangente vertical, \tfrac{dy}{dx} deve ser indefinido, ou seja, o denominador 2y deve ser zero. Assim
2y = 0 \implies y = 0.
Substituindo y=0 na curva original \;x + 0^2 = 9, vem x=9. Portanto existe um único ponto de tangente vertical, que é (9,0).

Resposta

Tangente horizontal: nenhum ponto.
Tangente vertical: (9,0).

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