Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal e onde é vertical. Vamos usar derivação implícita para obter
.
Passo 2
Derivando ambas as parcelas de
em relação a
e lembrando que
é função de
, temos
Portanto
Passo 3
Para tangente horizontal, precisamos de
. Então
essa equação não tem solução real (o numerador é constante
). Logo, não há pontos de tangente horizontal nesta curva.
Passo 4
Para tangente vertical,
deve ser indefinido, ou seja, o denominador
deve ser zero. Assim
Substituindo
na curva original
, vem
. Portanto existe um único ponto de tangente vertical, que é
.
Resposta
Tangente horizontal: nenhum ponto.
Tangente vertical: .
Tangente vertical: