Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
Passo 1
O enunciado dá a curva
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal (slope
) e vertical (slope indefinida). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter
em função de
e
.
Passo 2
Derivando implicitamente ambos os lados de
em relação a
, temos
Agrupando os termos com
,
Passo 3
Para reta tangente horizontal, exige-se
. Isso implica
Da primeira condição vem
. Substituindo na curva:
Logo
dá os pontos
e
. Em cada um deles
, então a tangente é mesmo horizontal.
Passo 4
Para reta tangente vertical, a derivada explode, isto é, o denominador deve zerar:
Da primeira condição vem
. Substituindo na curva:
Então
gera os pontos
e
. Nestes,
, garantindo tangente vertical.
Resposta
Pontes de tangente horizontal:
e
Pontos de tangente vertical: e
Pontos de tangente vertical: