Determine todos os pontos (forneça as duas coordenadas) sobre a curva dada para os quais a reta tangente é (a) horizontal e (b) vertical.
x^{2}+x y+y^{2}=3

Passo 1

O enunciado dá a curva
x^{2} + x\,y + y^{2} = 3
e pede os pontos onde a reta tangente é horizontal (slope dy/dx=0) e vertical (slope indefinida). Para isso, vamos usar derivação implícita para obter \,dy/dx em função de x e y.

Passo 2

Derivando implicitamente ambos os lados de
x^{2} + x\,y + y^{2} = 3
em relação a x, temos
2x + \bigl(x\,y' + y\bigr) + 2y\,y' = 0.
Agrupando os termos com y',
y'\,(x + 2y) + (2x + y) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' = -\frac{2x + y}{\,x + 2y\,}.

Passo 3

Para reta tangente horizontal, exige-se y'=0. Isso implica
2x + y = 0 \quad\text{e}\quad x + 2y \neq 0.
Da primeira condição vem y = -2x. Substituindo na curva:
x^{2} + x(-2x) + (-2x)^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x^{2} - 2x^{2} + 4x^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 3x^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; x = \pm 1.
Logo y = -2x dá os pontos
(1,-2) e (-1,2). Em cada um deles x+2y\neq0, então a tangente é mesmo horizontal.

Passo 4

Para reta tangente vertical, a derivada explode, isto é, o denominador deve zerar:
x + 2y = 0 \quad\text{e}\quad 2x + y \neq 0.
Da primeira condição vem x = -2y. Substituindo na curva:
(-2y)^{2} + (-2y)\,y + y^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 4y^{2} - 2y^{2} + y^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; 3y^{2} = 3 \;\Longrightarrow\; y = \pm 1.
Então x = -2y gera os pontos
(-2,1) e (2,-1). Nestes, 2x+y \neq 0, garantindo tangente vertical.

Resposta

Pontes de tangente horizontal: (1,-2) e (-1,2)
Pontos de tangente vertical: (-2,1) e (2,-1)

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