30 Determine a única sequência aritmética a_{1}, a_{2}, a_{3}, \ldots tal que a soma infinita \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} exista.

Passo 1

O enunciado pede uma sequência aritmética (a_k) tal que a série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}a_k
converja. Vamos usar duas ideias chave:
  1. Se \sum_{k=1}^\infty a_k converge, então é necessário que
\lim_{k\to\infty}a_k = 0.
  1. Uma sequência aritmética tem a forma
a_k = a_1 + (k-1)d,
onde a_1 é o primeiro termo e d a razão.

Passo 2

Para que
\lim_{k\to\infty}a_k=0
devemos ter
\lim_{k\to\infty}\bigl(a_1+(k-1)d\bigr)=0.
Se d\neq0, então (k-1)d tende a +\infty ou -\infty, logo a_k não tende a zero. Assim, a única possibilidade é
d=0.

Passo 3

Com d=0, a sequência fica constante:
a_k = a_1\quad\forall k.
Então a série é
\sum_{k=1}^\infty a_k = \sum_{k=1}^\infty a_1.
Essa soma só converge se o termo constante for zero, ou seja,
a_1 = 0.

Passo 4

Portanto a única sequência aritmética que faz a série infinita convergir é aquela com
a_1 = 0 \quad\text{e}\quad d = 0,
isto é,
a_k = 0\quad\forall k.

Resposta

A única sequência aritmética é a_k=0 para todo k, e a soma infinita vale 0.

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