30 Determine a única sequência aritmética
tal que a soma infinita
exista.
Passo 1
O enunciado pede uma sequência aritmética
tal que a série infinita
converja. Vamos usar duas ideias chave:
- Se
converge, então é necessário que
- Uma sequência aritmética tem a forma
onde
é o primeiro termo e
a razão.
Passo 2
Para que
devemos ter
Se
, então
tende a
ou
, logo
não tende a zero. Assim, a única possibilidade é
Passo 3
Com
, a sequência fica constante:
Então a série é
Essa soma só converge se o termo constante for zero, ou seja,
Passo 4
Portanto a única sequência aritmética que faz a série infinita convergir é aquela com
isto é,
Resposta
A única sequência aritmética é
para todo
, e a soma infinita vale
.