29 Suponha que x seja um número positivo.
(a) Explique por que x^{1 / n}=e^{(\ln x) / n} para todo número n não nulo.
(b) Explique por que
n\left(x^{1 / n}-1\right) \approx \ln x
se n for muito grande.
(c) Explique por que
\ln x=\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(x^{1 / n}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede para um número real positivo x e um inteiro n\neq0:
– (a) mostrar que
x^{1/n}=e^{(\ln x)/n},
– (b) argumentar que, se n é muito grande, então
n\bigl(x^{1/n}-1\bigr)\approx\ln x,
– (c) concluir que
\ln x=\lim_{n\to\infty}n\bigl(x^{1/n}-1\bigr).
O conteúdo principal envolve a definição de logaritmo natural, propriedades de exponencial e a expansão em série de e^y para y pequeno.

Passo 2

Pela definição de logaritmo, para x>0 temos
x=e^{\ln x}.
Elevando ambos os lados à potência 1/n, obtemos
x^{1/n}=\bigl(e^{\ln x}\bigr)^{1/n}=e^{(\ln x)/n}.
Isso prova (a).

Passo 3

Para (b), note que em (a) podemos escrever
x^{1/n}-1 = e^{y}-1, \quad\text{onde}\;y=\frac{\ln x}{n}.
Quando n é muito grande, y fica muito pequeno. Da expansão em série de Taylor em torno de y=0,
e^{y}=1+y+o(y) \quad(y\to0),
logo
x^{1/n}-1 = e^{y}-1 \approx y = \frac{\ln x}{n}.
Multiplicando ambos os lados por n resulta
n\bigl(x^{1/n}-1\bigr)\approx \ln x.

Passo 4

Para (c), usamos o fato de que
\lim_{y\to0}\frac{e^{y}-1}{y}=1.
Como y=(\ln x)/n\to0 quando n\to\infty, temos
n\bigl(x^{1/n}-1\bigr) = \frac{\ln x}{y}\bigl(e^{y}-1\bigr) = (\ln x)\,\frac{e^{y}-1}{y} \;\xrightarrow[n\to\infty]{}\;\ln x\cdot1 =\ln x.

Resposta

(a) Porque x=e^{\ln x} implica \,x^{1/n}=(e^{\ln x})^{1/n}=e^{(\ln x)/n}.
(b) Para n grande, y=(\ln x)/n é pequeno e e^{y}-1\approx y, logo n(x^{1/n}-1)\approx\ln x.
(c) Assim
\ln x =\lim_{n\to\infty}n\bigl(x^{1/n}-1\bigr).

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