(a) Porque x=e^{\ln x} implica \,x^{1/n}=(e^{\ln x})^{1/n}=e^{(\ln x)/n}.
(b) Para n grande, y=(\ln x)/n é pequeno e e^{y}-1\approx y, logo n(x^{1/n}-1)\approx\ln x.
(c) Assim
\ln x =\lim_{n\to\infty}n\bigl(x^{1/n}-1\bigr).
Cálculo - Sheldon Axler - Pré-Cálculo - Uma Preparação para o Cálculo - Vol1 - 2ª Edição - Capítulo 7.7.3 Problemas - Ex. 29