Determine o valor de k na equaçāo 2 x^2-30 x+(2 k-1)=0, de modo que a diferença de suas raizes seja igual a 3 .

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de k na equação
2x^2-30x+(2k-1)=0
de modo que a diferença entre as suas raízes seja igual a 3. Vamos usar as fórmulas de Viète e a relação entre soma, produto e diferença das raízes de uma equação quadrática.

Passo 2

Para a equação ax^2+bx+c=0 com raízes x1 e x2, as fórmulas de Viète são
x1 + x2 = -ba, x1 x2 = ca
Aqui temos a=2, b=-30 e c=2k-1. Então
x1 + x2 = --302 = 15, x1 x2 = 2k-12

Passo 3

A diferença das raízes satisfaz
(x1 - x2)^2 = (x1 + x2)^2 - 4,x1 x2
Como queremos lvert x1 - x2rvert = 3, temos
(x1 - x2)^2 = 3^2 = 9
Substituindo x1 + x2 = 15 e x1 x2 = 2k-12, fica
9 = 15^2 - 4cdot2k-12

Passo 4

Calculamos o lado direito:
15^2 = 225, 4cdot2k-12 = 2,(2k-1) = 4k - 2
Logo a equação vira
9 = 225 - (4k - 2) ;;Longrightarrow;; 9 = 225 - 4k + 2 ;;Longrightarrow;; 9 = 227 - 4k ;;Longrightarrow;; 4k = 227 - 9 = 218 ;;Longrightarrow;; k = 2184 = 1092

Resposta

k = 1092

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