Determine o valor de
na equação
, de modo que:
a) uma de suas raizes seja o dobro da outra
b) suas raizes sejam simétricas
c) uma das raizes seja o inverso da outra
a) uma de suas raizes seja o dobro da outra
b) suas raizes sejam simétricas
c) uma das raizes seja o inverso da outra
Passo 1
O enunciado nos dá a equação quadrática
e pede o valor de
para três situações:
a) uma raiz é o dobro da outra;
b) as raízes são simétricas (isto é, e
);
c) uma raiz é o inverso da outra.
Vamos usar as fórmulas de Vieté: se e
são as raízes, então
e
.
a) uma raiz é o dobro da outra;
b) as raízes são simétricas (isto é,
c) uma raiz é o inverso da outra.
Vamos usar as fórmulas de Vieté: se
Passo 2
Para (a), seja
uma raiz e
a outra.
Então
, logo
Então
O produto é
e pela fórmula de Vieté temos
Passo 3
Para (b), queremos raízes simétricas, ou seja
.
Isso implica
Isso implica
Mas pela fórmula de Vieté temos
, independente de
.
Logo não existe valor de que torne as raízes simétricas.
Logo não existe valor de
Passo 4
Para (c), queremos
.
Então o produto é
Então o produto é
e pela fórmula de Vieté
Resposta
a)
b) não existe valor de .
c)
b) não existe valor de
c)