Determine o valor de k na equação 5 x^2-12 x+6 k+2=0, de modo que:
a) uma de suas raizes seja o dobro da outra
b) suas raizes sejam simétricas
c) uma das raizes seja o inverso da outra

Passo 1

O enunciado nos dá a equação quadrática
5x^2-12x+6k+2=0
e pede o valor de k para três situações:
a) uma raiz é o dobro da outra;
b) as raízes são simétricas (isto é, alpha e -alpha);
c) uma raiz é o inverso da outra.
Vamos usar as fórmulas de Vieté: se alpha e beta são as raízes, então
alpha + beta = -tfracba e alphabeta = tfracca.

Passo 2

Para (a), seja alpha uma raiz e 2alpha a outra.
Então
alpha + 2alpha = 3alpha = -tfrac-125 = tfrac125, logo
alpha = 125cdot13 = 45
O produto é
alpha,(2alpha) = 2alpha^2 = 2l(45r)^2 = 3225,
e pela fórmula de Vieté temos
3225 ;=;6k+25 Longrightarrow 6k+2 = 325 Longrightarrow 6k = 225 Longrightarrow k = 1115

Passo 3

Para (b), queremos raízes simétricas, ou seja beta=-alpha.
Isso implica
alpha + beta = alpha + (-alpha) = 0
Mas pela fórmula de Vieté temos alpha+beta = -tfrac-125 = tfrac125neq0, independente de k.
Logo não existe valor de k que torne as raízes simétricas.

Passo 4

Para (c), queremos beta = 1/alpha.
Então o produto é
alphabeta = alphacdot1alpha = 1,
e pela fórmula de Vieté
1 = 6k+25 Longrightarrow 6k+2 = 5 Longrightarrow 6k = 3 Longrightarrow k = tfrac12

Resposta

a) k = tfrac1115
b) não existe valor de k.
c) k = tfrac12

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