Determine o valor de m na equação 5 x^2-8 x+(3 m-8)=0. de modo que uma de suas raizes seja o triplo da outra.

Passo 1

O enunciado dá a equação quadrática
5x^2-8x+(3m-8)=0
e pede o valor de m de modo que uma das raízes seja o triplo da outra.
Conteúdo: equações de 2º grau e relações de Viète.

Passo 2

Pela fórmula de Viète, se chamarmos as raízes de alpha e beta, temos
alpha + beta = --85 = 85,
alpha,beta = 3m-85
A condição “uma raiz é o triplo da outra” é
alpha = 3beta

Passo 3

Substituindo alpha=3beta na soma de raízes,
3beta + beta = 4beta = 85 Longrightarrow beta = 25,
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alpha = 3beta = 3cdot25 = 65

Passo 4

Agora usamos o produto de raízes:
alpha,beta = 65cdot 25 = 1225
e igualamos a 3m-85:
1225 = 3m-85
Multiplicando por 5:
3m - 8 = 125 Longrightarrow 3m = 8 + 125 = 525 Longrightarrow m = 5215

Resposta

5215

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