Determine o valor de N , de modo que:
N=9 times 10^x tem 27 divisores;

Passo 1

O enunciado pede para encontrar N de modo que
N = 9 times 10^x
tenha exatamente 27 divisores. O conteúdo envolve fatoração em primos e a fórmula do número de divisores.

Passo 2

Escrevendo a fatoração de N, note que
10^x = 2^x times 5^x,
logo
N = 9 times 10^x = 3^2 times 2^x times 5^x
Os expoentes dos primos em N são 2 para o 3 e x para o 2 e para o 5.

Passo 3

A fórmula para o número de divisores de um inteiro com fatoração prod pi^ei é
tau(N) = prod (ei+1)
Aqui, os expoentes são e2=x, e3=2 e e5=x, portanto
tau(N) = (x+1)times(2+1)times(x+1) = 3,(x+1)^2

Passo 4

Queremos tau(N)=27, então
3,(x+1)^2 = 27 Longrightarrow (x+1)^2 = 9
Como x é inteiro não negativo, temos x+1=3 e, portanto, x=2.

Passo 5

Substituindo x=2 em N=9times10^x, vem
N = 9 times 10^2 = 9 times 100 = 900

Resposta

N = 900

Exercícios de Livros Relacionados