Determine o valor numérico do determinante:
|cccc| 1 & 1 & 1 & 1 log 7 & log 70 & log 700 & log 7000 (log 7)^2 & (log 70)^2 & (log 700)^2 & (log 7000)^2 (log 7)^3 & (log 70)^3 & (log 700)^3 & (log 7000)^3

Passo 1

O enunciado pede o valor numérico do determinante da matriz
1 & 1 & 1 & 1 log 7 & log 70 & log 700 & log 7000 (log 7)^2 & (log 70)^2 & (log 700)^2 & (log 7000)^2 (log 7)^3 & (log 70)^3 & (log 700)^3 & (log 7000)^3
Esse é um determinante de Vandermonde, que nos traz o conteúdo de determinantes e a fórmula de Vandermonde.

Passo 2

Note que, usando logaritmo na base 10,
log 70=log7+log10=log7+1, log700=log7+2, log7000=log7+3
Chamando
x1=log7,;x2=log70,;x3=log700,;x4=log7000,
vemos que xj = x1 + (j-1) para j=1,2,3,4.

Passo 3

Para uma matriz de Vandermonde cujas colunas são l[1,xj,xj^2,xj^3r], vale
det = prod1<= i<j<=4(xj - xi)
Aqui cada diferença é
xj - xi = l(x1+(j-1)r) - l(x1+(i-1)r) = j - i

Passo 4

Calculamos
prod1<= i<j<=4(j-i) =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) =1cdot2cdot3cdot1cdot2cdot1=12

Resposta

12

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