Se somarmos 4 a todos os elementos da matriz A=[lll1 & 2 & 3 1 & 1 & m 1 & 1 & 1], cujo determinante é D, qual é o determinante da nova matriz?

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & 2 & 3 1 & 1 & m 1 & 1 & 1
com determinante D=det(A), e pede o determinante da matriz obtida ao somar 4 a cada elemento de A. Para resolver vamos usar operações elementares em linhas que não alteram (ou alteram por fator conhecido) o determinante.

Passo 2

Calcular . Subtraindo a primeira linha das outras duas não muda o valor de :
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Passo 3

Agora formamos a nova matriz
Aplicamos o mesmo tipo de operação: subtrair a primeira linha das outras duas, o que não altera :

Passo 4

O determinante de B fica
det(B) = 5 cdot det!-1 & m-3-1 & -2 =5l[(-1)(-2)-(m-3)(-1)r] =5,(2 + m-3) =5,(m-1)
Como D = m-1, segue que
det(B) = 5,D

Resposta

det(nova matriz) = 5D.

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