Prove que os determinantes abaixo são múltiplos de 12, sem desenvolvê-los.
D1=|lll1 & 12 & 11 5 & 24 & 13 7 & 36 & 17| D2=|rrrr2 & 1 & 3 & 11 4 & 8 & 12 & 8 10 & 5 & 9 & 13 14 & 7 & -3 & 15| D3=|rrr1 & 7 & 5 3 & 11 & 15 5 & 13 & 25|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
D1=1 & 12 & 11 [6pt] 5 & 24 & 13 [6pt] 7 & 36 & 17, D2=2 & 1 & 3 & 11 [4pt] 4 & 8 & 12 & 8 [4pt] 10 & 5 & 9 & 13 [4pt] 14 & 7 & -3 & 15, D3=1 & 7 & 5 [4pt] 3 & 11 & 15 [4pt] 5 & 13 & 25
são múltiplos de 12, sem calcular explicitamente cada determinante.]

Passo 2

Em D1, a segunda coluna é
122436=12123.
Como fatorar um escalar k de uma coluna faz o determinante multiplicar por k, temos
D1 =12; 1 & 1 & 11 [4pt] 5 & 2 & 13 [4pt] 7 & 3 & 17 ,
o que mostra que D1 é múltiplo de 12.]

Passo 3

No determinante D2 notamos duas coisas independentes:
1. A segunda linha é ,(4,8,12,8)=4,(1,2,3,2). Fatorando 4 dessa linha, o determinante ganha um fator 4.
2. A terceira coluna é ,(3,12,9,-3)=3,(1,4,3,-1). Fatorando 3 dessa coluna, o determinante ganha um fator 3.
Como as operações em linhas e colunas são independentes, concluímos
D2=4cdot3;l(outro determinanter) =12times(dots),
logo D2 é múltiplo de 12.

Passo 4

Para D3, basta mostrar dependência linear entre as linhas. Verifiquemos que
2cdot(linha 2) - (linha 1) =2,(3,11,15) - (1,7,5) =(6-1,;22-7,;30-5) =(5,15,25),
que é exatamente a linha 3 do determinante. Assim, as três linhas são linearmente dependentes e
D3=0,
e 0 é múltiplo de 12.

Resposta

D1, D2 e D3 são todos múltiplos de 12.

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