O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
cos0 & cos a & cos2a cos a & cos2a & cos3a cos2a & cos3a & cos4a
é zero sem precisar expandir cofatores. O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas para detectar dependência linear entre as linhas.
Passo 2
Lembramos a identidade de recorrência para o cosseno: para todo ninZ,
cosl((n+1)ar)+cosl((n-1)ar)=2cos(a),cosl(n,ar)
Passo 3
Aplicando essa identidade a cada coluna, vemos que, elemento a elemento, vale
cosl((n+1)ar)-2cos(a),cosl(n,ar)+cosl((n-1)ar)=0
Isso significa que, se chamarmos de L1,L2,L3 as linhas da matriz, então
L3-2cos(a),L2+L1=0(linha nula)
Passo 4
Como existe uma combinação linear não trivial que anula uma das linhas, as linhas são linearmente dependentes. Logo, o determinante da matriz é zero.
Resposta
0
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 300