Sem desenvolver, demonstre que:
|lll cos 0 & cos a & cos 2 a cos a & cos 2 a & cos 3 a cos 2 a & cos 3 a & cos 4 a |=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
cos0 & cos a & cos2a cos a & cos2a & cos3a cos2a & cos3a & cos4a
é zero sem precisar expandir cofatores. O conteúdo envolvido é o uso de identidades trigonométricas para detectar dependência linear entre as linhas.

Passo 2

Lembramos a identidade de recorrência para o cosseno: para todo ninZ,
cosl((n+1)ar)+cosl((n-1)ar)=2cos(a),cosl(n,ar)

Passo 3

Aplicando essa identidade a cada coluna, vemos que, elemento a elemento, vale
cosl((n+1)ar)-2cos(a),cosl(n,ar)+cosl((n-1)ar)=0
Isso significa que, se chamarmos de L1,L2,L3 as linhas da matriz, então
L3-2cos(a),L2+L1=0(linha nula)

Passo 4

Como existe uma combinação linear não trivial que anula uma das linhas, as linhas são linearmente dependentes. Logo, o determinante da matriz é zero.

Resposta

0

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