Determine o valor principal do argumento.
(9+9 i)^{3}

Passo 1

O enunciado pede o argumento principal de (9+9i)^3. O conteúdo principal aqui é usar forma polar de números complexos e a propriedade de De Moivre para elevar à potência.

Passo 2

Calcular módulo e argumento de z=9+9i. O módulo é
r = |z| = \sqrt{9^2 + 9^2} = 9\sqrt{2},
e o argumento principal é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{9}{9}\bigr) = \frac{\pi}{4}.

Passo 3

Expressamos z na forma polar z = r e^{i\theta} e aplicamos De Moivre:
z^3 = (r e^{i\theta})^3 = r^3 e^{i3\theta}.

Passo 4

O argumento de z^3 é 3\theta. Calculando,
3\theta = 3 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}.
Como \frac{3\pi}{4} já está no intervalo principal (-\pi,\pi], esse é o argumento principal.

Resposta

\displaystyle \frac{3\pi}{4}

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