Determine o valor de x, sabendo que x+5,3-x e x+7 são as medidas dos lados AB, BC e AC de um triângulo ABC cujo ângulo B vale 120^circ.

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos um triângulo ABC em que os comprimentos dos lados são dados por
AB=x+5, BC=3-x e AC=x+7, e o ângulo em B vale 120^circ. O que a gente vai usar para achar x é a Lei dos Cossenos, que relaciona os lados de um triângulo com o cosseno do ângulo oposto.

Passo 2

A Lei dos Cossenos diz
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2;AB,BC,cos!l(hat Br)
Aqui hat B=120^circ e cos(120^circ)=-tfrac12. Substituindo AB=x+5, BC=3-x e AC=x+7, fica
(x+7)^2 = (x+5)^2 + (3-x)^2 - 2,(x+5),(3-x),l(-tfrac12r)

Passo 3

Como -2cdot(-tfrac12)=+1, a equação vira
(x+7)^2 = (x+5)^2 + (3-x)^2 + (x+5)(3-x)
Agora expandimos cada termo:
(x+7)^2 = x^2 +14x +49,
(x+5)^2 = x^2 +10x +25,
(3-x)^2 = x^2 -6x +9,
(x+5)(3-x) = -x^2 -2x +15
Somando os três últimos:
(x+5)^2 + (3-x)^2 + (x+5)(3-x) = x^2 +10x +25 + x^2 -6x +9 - x^2 -2x +15 = x^2 +2x +49

Passo 4

Igualando as duas expressões:
x^2 +14x +49 = x^2 +2x +49
cancela x^2 e 49 de ambos os lados,
14x = 2x Longrightarrow 12x = 0 Longrightarrow x = 0

Passo 5

Verificando as condições de existência do triângulo:
,x+5>0Rightarrow x>-5,
,3-x>0Rightarrow x<3,
,x+7>0Rightarrow x>-7.
Ou seja, precisamos de -5<x<3. Como x=0 está nesse intervalo, a solução é válida.

Resposta

x = 0

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