Desenhe a curva da função dada.
f(x)=x^{4 / 3}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função
f(x)=x^{4/3}.
O conteúdo é esboço de curvas de potências racionais. Para desenhar precisamos determinar domínio, simetria, monotonicidade, concavidade e alguns pontos notáveis.

Passo 2

Domínio e paridade. Como a raiz cúbica está definida para todo x, o domínio é \mathbb{R}. Escrevendo
x^{4/3} = \bigl(x^{1/3}\bigr)^4
vemos que a parte x^{1/3} é ímpar e a quarta potência é par, logo f(-x)=f(x). Portanto f é função par, simétrica em relação ao eixo y.

Passo 3

Monotonicidade via derivada. Calculamos
f'(x)=\frac{4}{3}\,x^{1/3}.
Para x<0, x^{1/3}<0 implica f'(x)<0 (função decrescente à esquerda de 0). Em x=0, f'(0)=0 (tangente horizontal). Para x>0, f'(x)>0 (função crescente à direita de 0).

Passo 4

Concavidade via segunda derivada.
f''(x)=\frac{4}{3}\cdot\frac{1}{3}\,x^{-2/3}=\frac{4}{9}\,x^{-2/3}.
Como x^{-2/3}>0 para todo x\neq0, temos f''(x)>0 em \mathbb{R}\setminus\{0\}. Assim f é convexa em todo o domínio, com curvatura cada vez mais acentuada longe de 0.

Passo 5

Pontos notáveis e comportamento no infinito.
f(0)=0,\quad f(1)=1,\quad f(-1)=1.
Quando \lvert x\rvert\to\infty, f(x)\to+\infty. O ponto (0,0) é mínimo global e a tangente ali é horizontal.

Passo 6

Descrição do esboço. Como f é par, desenhamos para x\ge0 e refletimos. Para x\ge0, y=x^{4/3} parte de (0,0) quase “plana” (pendente zero) e curva para cima, passando em (1,1) e subindo de forma convexa. Refletindo em y, obtemos o ramo de x<0, que decresce de +\infty quando x\to -\infty até o mínimo em (0,0).

Resposta

O gráfico de f(x)=x^{4/3} é uma curva em forma de “U” suave, convexa e simétrica em relação ao eixo y, com mínimo em (0,0), tangente horizontal ali, passando por (\pm1,1) e tendendo a +\infty quando \lvert x\rvert\to\infty.

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