Determine os valores das constantes A e B para que a curva da função
f(x)=\frac{A x-3}{5+B x}
possua uma assíntota vertical para x=2 e uma assíntota horizontal para y=4. Plote f(x) para esses valores de A e B.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{A x - 3}{5 + B x}
e pede que ela tenha
– uma assíntota vertical em x=2
– uma assíntota horizontal em y=4.
Para isso, vamos usar:
  1. Assíntota vertical ocorre onde o denominador se anula sem que o numerador se anule.
  2. Assíntota horizontal de uma função racional de mesmo grau no numerador e denominador é a razão dos coeficientes líderes, isto é, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\tfrac{A}{B}.

Passo 2

Impondo assíntota vertical em x=2, precisamos de
5 + B\cdot 2 = 0
Logo
B = -\frac{5}{2}.
Além disso, o numerador em x=2 fica A\cdot2 -3\neq0. Isso só exige A\neq \tfrac32, condição que depois será satisfeita.

Passo 3

Impondo assíntota horizontal y=4, temos
\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\frac{A}{B}=4.
Substituindo B=-\tfrac52, vem
A = 4\,B = 4\cdot\Bigl(-\tfrac{5}{2}\Bigr) = -10.
Note que -10\neq\tfrac32, então não houve conflito com o passo anterior.

Passo 4

Com A=-10 e B=-\tfrac{5}{2}, a função fica
f(x)=\frac{-10x-3}{5 - \tfrac{5}{2}x}.
As assíntotas são:
– vertical em x=2 (denominador nulo)
– horizontal em y=4 (razão dos coeficientes -10 e -\tfrac52).
Interceptos:
\displaystyle f(0)=-\tfrac{3}{5} (eixo y) e
\displaystyle -10x-3=0\implies x=-\tfrac{3}{10} (eixo x).

Passo 5

Esboço qualitativo do gráfico:
– Reta vertical x=2 e reta horizontal y=4.
– Para x<2, a função desce de perto de 4 (quando x\to -\infty) até -\infty (quando x\to2^-).
– Para x>2, ela sai de +\infty (quando x\to2^+) e se aproxima de 4 (quando x\to+\infty).
– Passa por (0,-\tfrac{3}{5}) e (-\tfrac{3}{10},0).

Resposta

A = -10
B = -\tfrac{5}{2}

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