Determine os valores m e k, de modo que seja possível e indeterminado o sistema:
rr x+2 y-m z= & -1 3 x-y+z= & 4 -2 x+4 y-2 z= & k

Passo 1

O sistema dado é de três equações lineares em três incógnitas (x,y,z). Para que ele tenha infinitas soluções (seja possível e indeterminado), precisamos que o posto da matriz dos coeficientes seja menor que 3 e igual ao posto da matriz ampliada. Em particular, é necessário que
  1. o determinante da matriz de coeficientes seja zero, para que o posto seja <=2;
  2. as equações permaneçam consistentes, ou seja, a mesma dependência linear entre as linhas da matriz de coeficientes deve valer também para os termos independentes.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes
A = 1 & 2 & -m 3 & -1 & 1 -2 & 4 & -2
e calculamos seu determinante em função de m:
det(A) =1cdotdet-1 & 14 & -2 -2cdotdet3 & 1-2 & -2 - mcdotdet3 & -1-2 & 4
Cada menor vale
det-1 & 14 & -2=(-1)(-2)-1cdot4=2-4=-2,
det3 & 1-2 & -2=3cdot(-2)-1cdot(-2)=-6+2=-4,
det3 & -1-2 & 4=3cdot4-(-1)cdot(-2)=12-2=10
Logo,
det(A)=1cdot(-2)-2cdot(-4)-mcdot10=-2+8-10m=6-10m
Para termos infinitas soluções, exigimos det(A)=0, isto é,
6-10m=0 Longrightarrow m=610=35

Passo 3

Com
Para que haja consistência e posto igual a 2, a terceira equação deve ser combinação linear das duas primeiras. Buscamos e , que satisfazem a terceira. Agora, aplicando a mesma combinação aos termos independentes:
Portanto, para que a combinação da direita também seja válida, devemos ter .

Resposta

m=tfrac35, k=-6.

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