Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
Resolva o sistema pela regra de Cramer:
l 2x-1y-1z=-1 1x+1y+1z=0 3x-2y+1z=4
Sugestão: Faça 1x=x^prime, 1y=y^prime, 1z=z^prime.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
dfrac2x-dfrac1y-dfrac1z=-1,[6pt] dfrac1x+dfrac1y+dfrac1z=0,[6pt] dfrac3x-dfrac2y+dfrac1z=4,
usando a regra de Cramer. Como as variáveis aparecem no denominador, fazemos a substituição
x'=1x, y'=1y, z'=1z,
e resolvemos o sistema linear equivalente em (x',y',z').]

Passo 2

Substituindo
A matriz de coeficientes é
e o vetor de termos independentes é (\bigl(-1,0,4\bigr)^T].

Passo 3

Calculemos o determinante D=det A por expansão na primeira linha:
D = det 2 & -1 & -1 1 & 1 & 1 3 & -2 & 1 =2det1&1-2&1 -(-1)det1&13&1 +(-1)det1&13&-2
Agora,
det1&1-2&1=1cdot1-1cdot(-2)=3,
det1&13&1=1cdot1-1cdot3=-2,
det1&13&-2=1cdot(-2)-1cdot3=-5
Logo
D=2cdot3 -(-1)cdot(-2) +(-1)cdot(-5) =6 -2 +5 =9

Passo 4

Agora usamos Cramer para x', y' e z'. Substituímos a coluna correspondente pelo vetor de termos independentes e calculamos cada determinante.
Para x':
Dx'=det -1 & -1 & -1 0 & 1 & 1 4 & -2 & 1 =-1det1&1-2&1 -(-1)det0&14&1 +(-1)det0&14&-2
Já sabemos det!1&1-2&1=3. Além disso,
det0&14&1=0cdot1-1cdot4=-4, det0&14&-2=0cdot(-2)-1cdot4=-4
Portanto
Dx' = -1cdot3 +1cdot(-4) +(-1)cdot(-4) = -3 -4 +4 = -3
Para y':
Dy'=det 2 & -1 & -1 1 & 0 & 1 3 & 4 & 1 =2det0&14&1 -(-1)det1&13&1 +(-1)det1&03&4
Usando det!0&14&1=-4 e det!1&13&1=-2, mais
det1&03&4=1cdot4-0cdot3=4,
segue
Dy'=2cdot(-4)+1cdot(-2)+(-1)cdot4 =-8 -2 -4 = -14
Para z':
Dz'=det 2 & -1 & -1 1 & 1 & 0 3 & -2 & 4 =2det1&0-2&4 -(-1)det1&03&4 +(-1)det1&13&-2
Aqui det!1&0-2&4=4, det!1&03&4=4 e det!1&13&-2=-5. Então
Dz'=2cdot4 +1cdot4 +(-1)cdot(-5) =8+4+5=17

Passo 5

Pela regra de Cramer:
x'=Dx'D=-39=-13, y'=Dy'D=-149, z'=Dz'D=179

Passo 6

Voltando às variáveis originais:
x=1x'=-3, y=1y'=-914, z=1z'=917

Resposta

x=-3, y=-914, z=917

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