Determine os valores de x tais que:
|x-1|^2=|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
|x-1|^2 = |2x-1|
O que precisamos: entender que |x-1|^2=(x-1)^2 sempre, e tratar |2x-1| em dois casos conforme o sinal de 2x-1.

Passo 2

Considere o caso 2x-1>=0, ou seja x>=tfrac12.
Nesse caso
|2x-1| = 2x-1,
e a equação fica
(x-1)^2 = 2x - 1

Passo 3

Expandindo e reorganizando, obtemos
x^2 - 2x + 1 = 2x - 1 Longrightarrow x^2 - 4x + 2 = 0
Pelas fórmulas de Bhaskara,
x = 4 pm raiz16 - 82 = 4 pm raiz82 = 2 pm raiz2
Como estamos no caso x>=tfrac12, tanto 2+raiz2 quanto 2-raiz2 ( approx 0,586) satisfazem x>=0,5. Logo ambos são válidos.

Passo 4

Agora o caso 2x-1<0, isto é x<tfrac12.
Aqui
|2x-1| = 1 - 2x,
e a equação vira
(x-1)^2 = 1 - 2x

Passo 5

Expandindo,
x^2 - 2x + 1 = 1 - 2x Longrightarrow x^2 = 0 Longrightarrow x = 0
Verificamos que 0 < tfrac12, logo x=0 é solução neste caso.

Resposta

As soluções da equação são
x = 0, x = 2 - raiz2, x = 2 + raiz2

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