Ache a solução das seguintes desigualdades e represente no eixo coordenado o conjunto solução:
|x^2-1|<|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a desigualdade
lvert x^2-1rvert<lvert x-1rvert
ou seja, uma inequação com valores absolutos. Vamos usar a fatoração de x^2-1 e propriedades de módulo para chegar ao conjunto solução.

Passo 2

Observe que
x^2-1=(x-1)(x+1),
então a desigualdade fica
lvert(x-1)(x+1)rvert<lvert x-1rvert

Passo 3

Temos de atenção o caso x=1: aí lvert x-1rvert=0 e o lado esquerdo também vale lvert1-1rvertcdotlvert1+1rvert=0, ficando 0<0, que é falso. Logo xneq1 nos soluções. Para todo outro x, lvert x-1rvert>0 e podemos dividir ambos os lados por lvert x-1rvert.

Passo 4

Dividindo por lvert x-1rvert (válido só se xneq1) obtemos
lvert x+1rvert<1
Isso equivale a
-1<x+1<1 Longrightarrow -2<x<0

Passo 5

Nos extremos x=-2 e x=0 a desigualdade vira igualdade ( 3<3 ou 1<1), que não satisfazem a parte estrita “ <”. Portanto a solução final é o intervalo aberto
(-2,0)
No eixo real, marcamos um segmento aberto de -2 a 0.

Resposta

xinRmid -2<x<0 ou simp<=smente (-2,0)

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