Um cone de revolução tem o vértice no centro de uma face de um cubo de aresta a e a base circunscrita à face oposta do cubo. Determine a diferença entre o volume do cubo e o volume do cone.
Passo 1
O enunciado descreve um cubo de aresta
e um cone de revolução cujo vértice está no centro de uma face do cubo e cuja base está “circunscrita” à face oposta. Ou seja, a base do cone é o círculo que passa pelos quatro vértices da face quadrada de lado
. Vamos usar fórmulas de geometria de sólidos: volume do cubo e volume do cone.
Passo 2
Para encontrar a altura
do cone, note que o vértice fica no centro de uma face e a base está justamente na face paralela oposta, de modo que
Para determinar o raio
da base, observamos que o círculo circunscreve o quadrado de lado
, logo o raio é a metade da diagonal do quadrado:
Passo 3
O volume do cubo de aresta
é
Passo 4
O volume do cone é dado por
Substituindo
e
, vem
Passo 5
A diferença entre o volume do cubo e o volume do cone é