Um cone de revolução tem o vértice no centro de uma face de um cubo de aresta a e a base circunscrita à face oposta do cubo. Determine a diferença entre o volume do cubo e o volume do cone.

Passo 1

O enunciado descreve um cubo de aresta a e um cone de revolução cujo vértice está no centro de uma face do cubo e cuja base está “circunscrita” à face oposta. Ou seja, a base do cone é o círculo que passa pelos quatro vértices da face quadrada de lado a. Vamos usar fórmulas de geometria de sólidos: volume do cubo e volume do cone.

Passo 2

Para encontrar a altura h do cone, note que o vértice fica no centro de uma face e a base está justamente na face paralela oposta, de modo que
h = a
Para determinar o raio r da base, observamos que o círculo circunscreve o quadrado de lado a, logo o raio é a metade da diagonal do quadrado:
r = raiza^2 + a^22 = araiz22

Passo 3

O volume do cubo de aresta a é
Vcubo = a^3

Passo 4

O volume do cone é dado por
Vcone = 13,pi,r^2,h
Substituindo r^2 = l(tfracaraiz22r)^2 = tfraca^22 e h = a, vem
Vcone = 13,pi,a^22,a = pi6,a^3

Passo 5

A diferença entre o volume do cubo e o volume do cone é
Vcubo - Vcone = a^3 - pi6,a^3 = a^3l(1 - pi6r) = 6 - pi6,a^3

Resposta

6 - pi6,a^3

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