Determine o volume de um sólido gerado por um triângulo equilátero de lado a, quando gira em torno de um eixo paralelo a um de seus lados, sabendo que esse eixo passa pelo vértice oposto a esse lado.

Passo 1

O enunciado pede o volume de um sólido obtido pela rotação de um triângulo equilátero de lado a em torno de um eixo paralelo a um de seus lados e que passa pelo vértice oposto. Vamos usar o Teorema de Pappus para volumes de revolução.

Passo 2

A área do triângulo equilátero de lado a é
A = raiz34a^2

Passo 3

A altura h do triângulo vale
h = raiz32a,
e o centróide do triângulo fica a uma distância
d = 23h
do vértice onde está o eixo.

Passo 4

Pelo Teorema de Pappus, o volume gerado é o produto da área pela distância percorrida pelo centróide, ou seja,
V = A cdot l(2pi dr)

Passo 5

Substituindo A e d em V temos
V = raiz34a^2 ;times; 2pi ;times; 23,raiz32a
Observe que
raiz34cdot 2cdot 23cdot raiz32 = raiz3cdot 2cdot2cdotraiz34cdot3cdot2 = 1224 = 12
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V = pi a^32

Resposta

pi a^32

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