Como deve ser dividida a altura de uma pirâmide, paralelamente à base, para obter duas partes de volumes iguais? Generalize para n partes equivalentes.

Passo 1

O enunciado pede para inserir um plano paralelo à base de uma pirâmide de altura h de modo que o volume fique dividido em duas partes iguais. O conteúdo-chave é que as seções transversais de uma pirâmide são figuras semelhantes à base, e portanto a razão dos volumes é o cubo da razão linear das alturas.

Passo 2

Suponha que a partir do vértice (ápice) da pirâmide medimos uma altura y até o plano paralelo à base. A pirâmide menor que fica acima desse plano é semelhante à pirâmide original de altura h. Logo, pela semelhança,
Vrm pequenaVrm grande = l(yhr)^3

Passo 3

Para que essa pirâmide menor tenha metade do volume da original, basta impor
Vrm pequenaVrm grande = 12 Longrightarrow l(yhr)^3 = 12 Longrightarrow yh = 2^-tfrac13

Passo 4

Portanto o plano deve ficar a uma distância
y = h,2^-tfrac13
do vértice. Se preferirmos medir do plano até a base, a distância é
x = h - y = hl(1 - 2^-tfrac13r)

Passo 5

Generalizando para dividir em n fatias de mesmo volume, chamamos de yk a altura (medida do vértice) do k-ésimo plano, de modo que o volume acima dele seja k/n do total. Pela mesma ideia de semelhança:
V,acima de kVrm total = l(ykhr)^3 = kn Longrightarrow yk = hl(knr)^tfrac13,
para k=1,2,dots,n-1. Em cada k isso garante que a parte acima do plano k tenha k/n do volume da pirâmide.

Resposta

O plano que divide o volume ao meio fica a
y = h,2^-tfrac13
do vértice (ou a x = h(1-2^-tfrac13) da base).
Em geral, para n partes iguais, os planos k=1,dots,n-1 devem estar a
yk = hl(tfracknr)^tfrac13
do vértice.

Exercícios de Livros Relacionados