Como deve ser dividida a altura de uma pirâmide, paralelamente à base, para obter duas partes de volumes iguais? Generalize para
partes equivalentes.
Passo 1
O enunciado pede para inserir um plano paralelo à base de uma pirâmide de altura
de modo que o volume fique dividido em duas partes iguais. O conteúdo-chave é que as seções transversais de uma pirâmide são figuras semelhantes à base, e portanto a razão dos volumes é o cubo da razão linear das alturas.
Passo 2
Suponha que a partir do vértice (ápice) da pirâmide medimos uma altura
até o plano paralelo à base. A pirâmide menor que fica acima desse plano é semelhante à pirâmide original de altura
. Logo, pela semelhança,
Passo 3
Para que essa pirâmide menor tenha metade do volume da original, basta impor
Passo 4
Portanto o plano deve ficar a uma distância
do vértice. Se preferirmos medir do plano até a base, a distância é
Passo 5
Generalizando para dividir em
fatias de mesmo volume, chamamos de
a altura (medida do vértice) do
-ésimo plano, de modo que o volume acima dele seja
do total. Pela mesma ideia de semelhança:
para
. Em cada
isso garante que a parte acima do plano
tenha
do volume da pirâmide.
Resposta
O plano que divide o volume ao meio fica a
do vértice (ou a
da base).
Em geral, para partes iguais, os planos
devem estar a
Em geral, para
do vértice.