A altura de uma pirâmide é dividida em seis partes iguais e pelos pontos de divisão são traçados planos paralelos à base. Sabendo que a área da base é 360, determine a soma das áreas das cinco seções da pirâmide pelos referidos planos.

Passo 1

O enunciado dá uma pirâmide de base com área 360 e altura H. Essa altura é dividida em seis partes iguais e, em cada ponto de divisão, traçamos um plano paralelo à base. Precisamos calcular a soma das áreas dessas cinco seções planas obtidas por esses planos.

Passo 2

Por semelhança de figuras, a seção paralela à base que fica a uma distância x do vértice tem área proporcional ao quadrado da razão linear tfracxH. Logo,
A(x) ;=; Abase!l(tfracxHr)^2 ;=;360,l(tfracxHr)^2

Passo 3

Os planos estão a distâncias x=kH6 do vértice, com k=1,2,3,4,5. Chamando Ak a área da k-ésima seção, temos
Ak = 360l(tfrack6r)^2

Passo 4

Somando as cinco áreas:
sumk=1^5Ak =360sumk=1^5l(tfrack6r)^2 =36036sumk=1^5k^2 =10cdot(1^2+2^2+3^2+4^2+5^2) =10cdot55 =550

Resposta

550

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