Sobre base comum foram construídos dois cones retos (um dentro do outro). O raio da base é R. Um plano paralelo à base, que passa pelo vértice do cone menor, intercepta o cone maior segundo um círculo de raio r. A altura do cone menor é
. Ache o volume do sólido compreendido entre as superfícies laterais desses dois cones.
Passo 1
O enunciado nos dá dois cones retos com base comum de raio
, sendo o cone menor de altura
e o cone maior de altura
desconhecida. Um plano paralelo à base, que passa pelo vértice do cone menor, corta o cone maior em uma circunferência de raio
.
Para determinar o volume do sólido entre as superfícies laterais (ou seja, o volume do cone maior menos o volume do cone menor) vamos usar
Para determinar o volume do sólido entre as superfícies laterais (ou seja, o volume do cone maior menos o volume do cone menor) vamos usar
- semelhança de triângulos para relacionar
, , e , - cálculo das diferenças de volumes de cones.
Passo 2
Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone maior e o triângulo gerador formado na seção a uma distância
da base, vale
Passo 3
Resolvendo
para
, temos
Passo 4
O volume de um cone de raio de base
e altura
é
Logo, o volume do cone maior é
e o do cone menor é
O volume procurado é a diferença
Passo 5
Substituindo
em
, encontramos
Portanto