Sobre base comum foram construídos dois cones retos (um dentro do outro). O raio da base é R. Um plano paralelo à base, que passa pelo vértice do cone menor, intercepta o cone maior segundo um círculo de raio r. A altura do cone menor é h. Ache o volume do sólido compreendido entre as superfícies laterais desses dois cones.

Passo 1

O enunciado nos dá dois cones retos com base comum de raio R, sendo o cone menor de altura h e o cone maior de altura H desconhecida. Um plano paralelo à base, que passa pelo vértice do cone menor, corta o cone maior em uma circunferência de raio r.
Para determinar o volume do sólido entre as superfícies laterais (ou seja, o volume do cone maior menos o volume do cone menor) vamos usar
  1. semelhança de triângulos para relacionar r, R, h e H,
  2. cálculo das diferenças de volumes de cones.

Passo 2

Pela semelhança entre o triângulo gerador do cone maior e o triângulo gerador formado na seção a uma distância h da base, vale
rR ;=;H - hH

Passo 3

Resolvendo tfracrR = tfracH - hH para H, temos
rH = R(H - h) Longrightarrow rH = RH - R,h Longrightarrow RH - rH = R,h Longrightarrow H = R,hR - r

Passo 4

O volume de um cone de raio de base R e altura X é
V(X)=13pi R^2,X
Logo, o volume do cone maior é
Vrm maior=13pi R^2,H
e o do cone menor é
Vrm menor=13pi R^2,h
O volume procurado é a diferença
V = Vrm maior-Vrm menor =13pi R^2,(H - h)

Passo 5

Substituindo H = tfracR,hR - r em H - h, encontramos
H - h =R,hR - r-h =R,h - h,(R - r)R - r =h,rR - r
Portanto
V =13pi R^2;h,rR - r =pi R^2,h,r3,(,R - r,)

Resposta

V = pi R^2,h,r3,(R - r)

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