Qual deve ser a relação entre m, n e p para que a circunferência de equação x^2+y^2-m x-n y+p=0 tenha centro na origem?

Passo 1

O enunciado fornece a circunferência de equação
x^2+y^2-m x -n y +p=0
e pede que o seu centro seja a origem (0,0). Para isso, precisamos usar o método de completar quadrados para identificar o centro de uma circunferência na forma geral.

Passo 2

Agrupamos os termos em x e em y e completamos quadrados:
x^2-m x = l(x-tfracm2r)^2-l(tfracm2r)^2, y^2-n y = l(y-tfracn2r)^2-l(tfracn2r)^2
Substituindo na equação original, obtemos
l(x-tfracm2r)^2 + l(y-tfracn2r)^2 - l(tfracm2r)^2 - l(tfracn2r)^2 + p = 0

Passo 3

Dessa forma, reconhecemos que a circunferência está na forma
(x-h)^2 + (y-k)^2 = R^2,
onde o centro (h,k) é dado por
h = tfracm2, k = tfracn2

Passo 4

Para que esse centro seja a origem (0,0), devemos ter
tfracm2=0 e tfracn2=0,
o que implica
m=0 e n=0

Resposta

A circunferência terá centro na origem se, e somente se,
m=0 e n=0

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