(UF-BA) No dia do aniversário de sua fundação, uma empresa premiou cinco clientes que aniversariavam nesse mesmo dia, todos nascidos no século XX. Observou-se que as idades dos premiados, expressas em anos, eram todas distintas e que a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma.
Com base nessas informações, sobre as idades dos premiados na data da entrega do prêmio, realizada em março de 1999, pode-se afirmar (indique a soma das alternativas corretas):
(01) Organizadas na ordem crescente ou na ordem decrescente, formam uma progressão aritmética.
(02) A média e a mediana são iguais.
(04) Se a diferença entre duas idades consecutivas é um número ímpar, então três das idades são números pares.
(08) Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então o desvio padrão é igual a 2 raiz2.
(16) Se a idade de um dos premiados, na entrega do prêmio, é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, então essa dezena é um número primo.
(32) É possível que todas as idades sejam números primos menores que 21.

Passo 1

O enunciado diz que as cinco idades formam uma progressão aritmética (PA) de termos inteiros distintos no dia em março de 1999. Logo podemos representar as idades por
a,;a+d,;a+2d,;a+3d,;a+4d
com dneq0. Vamos usar propriedades gerais de PA e algumas condições de nascimento no século XX para avaliar cada alternativa.

Passo 2

(01) Organizadas na ordem crescente ou decrescente, formam uma PA.
Isto é exatamente a definição: sequência com diferença constante d.
Logo a alternativa (01) é verdadeira.

Passo 3

(02) A média e a mediana são iguais.
Em qualquer PA de número ímpar de termos, a média aritmética dos termos coincide com o termo central, que é a mediana.
Portanto a alternativa (02) é verdadeira.

Passo 4

(04) Se d é ímpar, então três das idades são números pares.
Analisando paridade dos termos a,;a+d,;a+2d,dots: quando d é ímpar, a paridade alterna. Se a é par, temos par–ímpar–par–ímpar–par (3 pares); se a é ímpar, temos ímpar–par–ímpar–par–ímpar (2 pares).
Logo não é garantido ter sempre três pares. A alternativa (04) é falsa.

Passo 5

(08) Se d=2, então o desvio padrão é 2raiz2.
Em uma PA de cinco termos com diferença d, os desvios em relação à média são -2d,-d,0,d,2d. A variância populacional é
15l(4d^2 + d^2 + 0 + d^2 +4d^2r) =10d^25=2d^2,
então o desvio padrão é
raiz2d^2=draiz2
Para d=2 obtemos 2raiz2. A alternativa (08) é verdadeira.

Passo 6

(16) Se a idade de um premiado é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, então essa dezena é primo.
Ano de nascimento: 19,Y,U, onde Y é a dezena e U a unidade. A idade em março de 1999 é
1999-(1900+10Y+U)=99-10Y-U
Condição dada: 99-10Y-U=8Y, isto é
99-U=18Y
Como Uin0,1,dots,9, o único valor que torna 99-U múltiplo de 18 é U=9, dando 99-9=90=18cdot5. Logo Y=5, que é primo. A alternativa (16) é verdadeira.

Passo 7

(32) É possível que todas as idades sejam primos menores que 21.
Os primos menores que 21 são 2,3,5,7,11,13,17,19. Não existe nenhuma PA de cinco termos dentre esses números (qualquer diferença d que funcione falha em produzir cinco primos). Portanto a alternativa (32) é falsa.

Resposta

27

Exercícios de Livros Relacionados