(UF-BA) No dia do aniversário de sua fundação, uma empresa premiou cinco clientes que aniversariavam nesse mesmo dia, todos nascidos no século XX. Observou-se que as idades dos premiados, expressas em anos, eram todas distintas e que a diferença entre duas idades consecutivas era a mesma.
Com base nessas informações, sobre as idades dos premiados na data da entrega do prêmio, realizada em março de 1999, pode-se afirmar (indique a soma das alternativas corretas):
(01) Organizadas na ordem crescente ou na ordem decrescente, formam uma progressão aritmética.
(02) A média e a mediana são iguais.
(04) Se a diferença entre duas idades consecutivas é um número ímpar, então três das idades são números pares.
(08) Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então o desvio padrão é igual a
.
(16) Se a idade de um dos premiados, na entrega do prêmio, é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, então essa dezena é um número primo.
(32) É possível que todas as idades sejam números primos menores que 21.
Com base nessas informações, sobre as idades dos premiados na data da entrega do prêmio, realizada em março de 1999, pode-se afirmar (indique a soma das alternativas corretas):
(01) Organizadas na ordem crescente ou na ordem decrescente, formam uma progressão aritmética.
(02) A média e a mediana são iguais.
(04) Se a diferença entre duas idades consecutivas é um número ímpar, então três das idades são números pares.
(08) Se a diferença entre duas idades consecutivas é igual a 2, então o desvio padrão é igual a
(16) Se a idade de um dos premiados, na entrega do prêmio, é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, então essa dezena é um número primo.
(32) É possível que todas as idades sejam números primos menores que 21.
Passo 1
O enunciado diz que as cinco idades formam uma progressão aritmética (PA) de termos inteiros distintos no dia em março de 1999. Logo podemos representar as idades por
com
. Vamos usar propriedades gerais de PA e algumas condições de nascimento no século XX para avaliar cada alternativa.
Passo 2
(01) Organizadas na ordem crescente ou decrescente, formam uma PA.
Isto é exatamente a definição: sequência com diferença constante .
Logo a alternativa (01) é verdadeira.
Isto é exatamente a definição: sequência com diferença constante
Logo a alternativa (01) é verdadeira.
Passo 3
(02) A média e a mediana são iguais.
Em qualquer PA de número ímpar de termos, a média aritmética dos termos coincide com o termo central, que é a mediana.
Portanto a alternativa (02) é verdadeira.
Em qualquer PA de número ímpar de termos, a média aritmética dos termos coincide com o termo central, que é a mediana.
Portanto a alternativa (02) é verdadeira.
Passo 4
(04) Se
é ímpar, então três das idades são números pares.
Analisando paridade dos termos : quando
é ímpar, a paridade alterna. Se
é par, temos par–ímpar–par–ímpar–par (3 pares); se
é ímpar, temos ímpar–par–ímpar–par–ímpar (2 pares).
Logo não é garantido ter sempre três pares. A alternativa (04) é falsa.
Analisando paridade dos termos
Logo não é garantido ter sempre três pares. A alternativa (04) é falsa.
Passo 5
(08) Se
, então o desvio padrão é
.
Em uma PA de cinco termos com diferença , os desvios em relação à média são
. A variância populacional é
Em uma PA de cinco termos com diferença
então o desvio padrão é
Para
obtemos
. A alternativa (08) é verdadeira.
Passo 6
(16) Se a idade de um premiado é igual a oito vezes a dezena do ano de seu nascimento, então essa dezena é primo.
Ano de nascimento: , onde
é a dezena e
a unidade. A idade em março de 1999 é
Ano de nascimento:
Condição dada:
, isto é
Como
, o único valor que torna
múltiplo de 18 é
, dando
. Logo
, que é primo. A alternativa (16) é verdadeira.
Passo 7
(32) É possível que todas as idades sejam primos menores que 21.
Os primos menores que 21 são . Não existe nenhuma PA de cinco termos dentre esses números (qualquer diferença
que funcione falha em produzir cinco primos). Portanto a alternativa (32) é falsa.
Os primos menores que 21 são
Resposta
27