As diagonais de um quadrilátero inscritível medem 20 cm e 25 cm ; dois lados opostos medem 15 cm e 24 cm . Calcular os outros dois lados do quadrilátero.

Passo 1

Resumindo: temos um quadrilátero cíclico com diagonais de comprimentos 20 cm e 25 cm. Dois lados opostos medem 15 cm e 24 cm. Queremos achar os outros dois lados, digamos b e d, também opostos.

Passo 2

Aplicamos o Teorema de Ptolomeu, que diz que, num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é a soma dos produtos dos pares de lados opostos. Se chamarmos os lados em ordem de a=15, b, c=24, d e as diagonais de 20 e 25, então
20\cdot25 \;=\; a\cdot c \;+\; b\cdot d
Substituindo a=15 e c=24:
500 \;=\; 15\cdot24 \;+\; b\,d \quad\Longrightarrow\quad b\,d = 500 - 360 = 140.

Passo 3

Os valores b e d devem ser positivos e satisfazer as desigualdades triangulares em todos os triângulos formados pelas diagonais. Em particular, das desigualdades:
– no triângulo com lados 15, b, 20 segue 15 + b > 20 \;\Rightarrow\; b>5 e b < 35.
– no triângulo com lados 24, d, 20 segue d > 4 e d < 44.
– no triângulo com lados 15, d, 25 segue 15 + d > 25 \;\Rightarrow\; d>10 e d<40.
– no triângulo com lados b, 24, 25 segue b>1 e b<49.
Em resumo:
5 < b < 35, \quad 10 < d < 40, \quad b\,d = 140.

Passo 4

Procuramos pares de números positivos cujo produto seja 140 e que estejam nos intervalos acima. Os candidatos inteiros são
(b,d)\in\{(1,140),(2,70),(4,35),(5,28),(7,20),(10,14),(14,10),(20,7),(28,5),(35,4),(70,2),(140,1)\}.
Destes, só (b,d)=(10,14) satisfaz simultaneamente 5 < b < 35 e 10 < d < 40. A troca (14,10) falha pois d=10 não é maior que 10.

Resposta

Os outros dois lados medem 10 cm e 14 cm.

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