As diagonais de um quadrilátero inscritível medem 20 cm e 25 cm ; dois lados opostos medem 15 cm e 24 cm . Calcular os outros dois lados do quadrilátero.
Passo 1
Resumindo: temos um quadrilátero cíclico com diagonais de comprimentos
cm e
cm. Dois lados opostos medem
cm e
cm. Queremos achar os outros dois lados, digamos
e
, também opostos.
Passo 2
Aplicamos o Teorema de Ptolomeu, que diz que, num quadrilátero cíclico, o produto das diagonais é a soma dos produtos dos pares de lados opostos. Se chamarmos os lados em ordem de
,
,
,
e as diagonais de
e
, então
Substituindo
e
:
Passo 3
Os valores
e
devem ser positivos e satisfazer as desigualdades triangulares em todos os triângulos formados pelas diagonais. Em particular, das desigualdades:
– no triângulo com lados ,
,
segue
e
.
– no triângulo com lados ,
,
segue
e
.
– no triângulo com lados ,
,
segue
e
.
– no triângulo com lados ,
,
segue
e
.
Em resumo:
– no triângulo com lados
– no triângulo com lados
– no triângulo com lados
– no triângulo com lados
Em resumo:
Passo 4
Procuramos pares de números positivos cujo produto seja
e que estejam nos intervalos acima. Os candidatos inteiros são
.
Destes, só satisfaz simultaneamente
e
. A troca
falha pois
não é maior que
.
Destes, só
Resposta
Os outros dois lados medem
cm e
cm.