E é um ponto no lado AD de um retângulo ABCD tal que \mathrm{DE}=6, enquanto que \mathrm{DA}=8 e DC =6. Se CE é prolongado (a partir de E) até encontrar o circuncírculo do retângulo em F , determine o valor das cordas DF e FB, utilizando o Teorema de Ptolomeu.

Passo 1

O enunciado dá um retângulo ABCD com lados
DA=8,\quad DC=6
e um ponto E em AD tal que
DE=6,\quad EA=AD - DE = 8 - 6 = 2.
O problema pede as cordas DF e FB, onde F é o segundo ponto de interseção da reta CE com o circuncírculo do retângulo (que passa por A,B,C,D).
Para resolver, vamos:
  1. Colocar o retângulo em coordenadas no plano.
  2. Escrever a equação do circuncírculo (diâmetro AC).
  3. Encontrar F como interseção da reta CE com esse círculo.
  4. Calcular as distâncias DF e FB.

Passo 2

Escolhemos coordenadas:
A=(0,0),\quad B=(6,0),\quad C=(6,8),\quad D=(0,8).
Como DE=6 ao longo de AD (segmento vertical), temos
E=(0,8-6)=(0,2).
O circuncírculo de ABCD tem diâmetro AC. O centro é o ponto médio de A e C:
O=\bigl(\tfrac{0+6}{2},\,\tfrac{0+8}{2}\bigr)=(3,4),
e o raio é metade de \overline{AC}, onde
AC=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10,
logo
r=5
e a equação do círculo é
(x-3)^2+(y-4)^2=25.

Passo 3

A reta que passa por C=(6,8) e E=(0,2) pode ser parametrizada por
P(t)=C + t\,(E-C) = (6,8) + t\,(-6,-6) = (6-6t,\;8-6t).
Em t=0 estamos em C e em t=1 em E. O ponto F é a outra interseção com o círculo para algum t\neq0.

Passo 4

Substituímos x=6-6t e y=8-6t na equação do círculo:
(6-6t-3)^2 + (8-6t-4)^2 =25 \;\Longrightarrow\; (3-6t)^2 + (4-6t)^2 =25.
Expandindo e simplificando obtemos
72t^2 -84t +25 =25 \;\Longrightarrow\; t\,(72t -84)=0 \;\Longrightarrow\; t=0\text{ ou }t=\tfrac{84}{72}=\tfrac{7}{6}.
Descartamos t=0 (que dá C) e ficamos com
t=\tfrac{7}{6}.
Logo
F=P\bigl(\tfrac{7}{6}\bigr) =\bigl(6-6\cdot\tfrac{7}{6},\,8-6\cdot\tfrac{7}{6}\bigr) =(6-7,\;8-7)=(-1,1).

Passo 5

Agora calculamos as distâncias:
D=(0,8),\;B=(6,0),\;F=(-1,1).
Primeiro
DF=\sqrt{(-1-0)^2 + (1-8)^2} =\sqrt{1 +49} =\sqrt{50} =5\sqrt{2}.
E depois
FB=\sqrt{(6-(-1))^2 + (0-1)^2} =\sqrt{7^2 +(-1)^2} =\sqrt{49+1} =\sqrt{50} =5\sqrt{2}.

Resposta

DF = 5\sqrt{2}, \quad FB = 5\sqrt{2}.

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