(UE-CE) A diagonal de um paralelepípedo retângulo, cuja base é um quadrado, mede 6 cm e faz com o plano da base do paralelepípedo um ângulo de 45^circ. A medida, em cm^3, do volume do paralelepípedo é:
a) 8 raiz2
b) 8 raiz3
c) 27 raiz2
d) 27 raiz3

Passo 1

Resumindo, temos um paralelepípedo com base quadrada de lado desconhecido a e altura h. A diagonal espacial mede 6,cm e faz ângulo de 45^circ com o plano da base. Para resolver usaremos:
1. A definição de diagonal espacial
d = raiza^2 + a^2 + h^2 = raiz2a^2 + h^2
2. A relação entre o ângulo phi que uma reta faz com um plano e sua projeção:
sinphi = componente perpendicularcomprimento da reta Longrightarrow sin45^circ = h6
3. A fórmula do volume
V = a^2 , h

Passo 2

Aplicando sin45^circ = h/6, como sin45^circ = tfracraiz22, obtemos
raiz22 = h6 Longrightarrow h = 6 cdot raiz22 = 3raiz2

Passo 3

Usando a fórmula da diagonal
6 = raiz2a^2 + h^2 Longrightarrow 36 = 2a^2 + (3raiz2)^2 = 2a^2 + 18 Longrightarrow 2a^2 = 18 Longrightarrow a^2 = 9 Longrightarrow a = 3

Passo 4

Finalmente, o volume é
V = a^2 , h = 9 times (3raiz2) = 27raiz2

Resposta

27raiz2

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