Qual é a diferença entre taxa de variação instantânea e média? Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea, conteúdo que envolve o conceito de derivada em cálculo diferencial. Para responder, vamos definir cada taxa e depois ilustrar com um exemplo simples de movimento retilíneo descrito por uma função posição.
Passo 2
A taxa de variação média de uma função
num intervalo
é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos
e
. Formalmente:
Passo 3
A taxa de variação instantânea em
é o coeficiente angular da reta tangente à curva
naquele ponto, ou seja, é a derivada de
em
. Em fórmula:
Passo 4
Vamos usar como exemplo a função posição
em que
está em horas e
em quilômetros.
(a) Calcular a taxa média de
até
.
(b) Calcular a taxa instantânea em .
(b) Calcular a taxa instantânea em
Passo 5
Para a taxa média entre
e
:
Passo 6
Para a taxa instantânea, primeiro achamos a derivada:
Em
:
Passo 7
Interpretação:
– A taxa média de ,km/h significa que, em média, o objeto percorreu
,km a cada hora entre
,h e
,h.
– A taxa instantânea de ,km/h em
,h é a velocidade exata naquele instante.
– A taxa média de
– A taxa instantânea de
Resposta
A taxa de variação média mede o ganho médio de
num intervalo
por
, enquanto a taxa de variação instantânea é a derivada
, o limite desse quociente quando o intervalo encolhe a zero.
Exemplo: para , a taxa média de
a
é
,km/h e a taxa instantânea em
também é
,km/h.
Exemplo: para