Qual é a diferença entre taxa de variação instantânea e média? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta a diferença entre taxa de variação média e taxa de variação instantânea, conteúdo que envolve o conceito de derivada em cálculo diferencial. Para responder, vamos definir cada taxa e depois ilustrar com um exemplo simples de movimento retilíneo descrito por uma função posição.

Passo 2

A taxa de variação média de uma função s(t) num intervalo [t_{0},t_{1}] é o coeficiente angular da reta secante que liga os pontos \bigl(t_{0},s(t_{0})\bigr) e \bigl(t_{1},s(t_{1})\bigr). Formalmente:
\text{Taxa média} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_{1}) - s(t_{0})}{t_{1} - t_{0}}.é

Passo 3

A taxa de variação instantânea em t_{0} é o coeficiente angular da reta tangente à curva s(t) naquele ponto, ou seja, é a derivada de s em t_{0}. Em fórmula:
\text{Taxa instantânea em }t_{0} = s'(t_{0}) = \lim_{h \to 0} \frac{s(t_{0} + h) - s(t_{0})}{h}.â

Passo 4

Vamos usar como exemplo a função posição
s(t) = t^2,
em que t está em horas e s(t) em quilômetros.
(a) Calcular a taxa média de t=1 até t=3.
(b) Calcular a taxa instantânea em t=2.

Passo 5

Para a taxa média entre t_{0}=1 e t_{1}=3:
\frac{s(3)-s(1)}{3-1} = \frac{3^2 - 1^2}{2} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4 \quad\bigl(\text{km/h}\bigr).

Passo 6

Para a taxa instantânea, primeiro achamos a derivada:
s'(t) = \frac{d}{dt}\bigl(t^2\bigr) = 2t.
Em t=2:
s'(2) = 2 \cdot 2 = 4 \quad\bigl(\text{km/h}\bigr).

Passo 7

Interpretação:
– A taxa média de 4,km/h significa que, em média, o objeto percorreu 4,km a cada hora entre t=1,h e t=3,h.
– A taxa instantânea de 4,km/h em t=2,h é a velocidade exata naquele instante.

Resposta

A taxa de variação média mede o ganho médio de s num intervalo [t_{0},t_{1}] por \frac{\bigl(s(t_{1})-s(t_{0})\bigr)}{(t_{1}-t_{0})}, enquanto a taxa de variação instantânea é a derivada s'(t_{0}), o limite desse quociente quando o intervalo encolhe a zero.
Exemplo: para s(t)=t^2, a taxa média de t=1 a 3 é 4,km/h e a taxa instantânea em t=2 também é 4,km/h.

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