Ex. 8.25 - (Difícil) Mostre que dado
, se
então
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
, então
para dado
.
O conteúdo chave aqui é usar a continuidade da função
O conteúdo chave aqui é usar a continuidade da função
no ponto
, sob a hipótese de que
(caso contrário precisamos de condições adicionais). Vamos ver como provar essa continuidade de forma elementar.
Passo 2
Como
e
, existe
tal que para todo
temos
. Logo, a partir de algum índice, todos os
estão no domínio positivo da função
.
Passo 3
Escrevemos a potência como composição de funções conhecidas por serem contínuas em
. De fato, para
vale
onde usamos o logaritmo natural
e a função exponencial
.
Passo 4
Agora aplicamos limites em cada etapa da composição. Primeiro, pela continuidade de
em
,
Passo 5
Em seguida, multiplicar por
é uma operação contínua, então
Passo 6
Por fim, a exponencial
é contínua em todo número real, o que dá
Passo 7
Mas
. Juntando tudo, obtemos