Ex. 8.25 - (Difícil) Mostre que dado alpha in R, se lim n infty an=a então
lim n infty(an)^alpha=a^alpha

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se limntoinftyan=a, então
limntoinfty(an)^alpha=a^alpha,
para dado alphainR.
O conteúdo chave aqui é usar a continuidade da função
f(x)=x^alpha
no ponto x=a, sob a hipótese de que a>0 (caso contrário precisamos de condições adicionais). Vamos ver como provar essa continuidade de forma elementar.

Passo 2

Como limntoinftyan=a e a>0, existe N tal que para todo n>= N temos an>0. Logo, a partir de algum índice, todos os an estão no domínio positivo da função xmapsto x^alpha.

Passo 3

Escrevemos a potência como composição de funções conhecidas por serem contínuas em (0,infty). De fato, para x>0 vale
x^alpha =expl(alphaln(x)r),
onde usamos o logaritmo natural ln e a função exponencial exp.

Passo 4

Agora aplicamos limites em cada etapa da composição. Primeiro, pela continuidade de ln em x=a>0,
limntoinftyln(an) =lnl(limntoinftyanr) =ln(a)

Passo 5

Em seguida, multiplicar por alpha é uma operação contínua, então
limntoinftyl(alpha,ln(an)r) =alpha;limntoinftyln(an) =alpha,ln(a)

Passo 6

Por fim, a exponencial exp é contínua em todo número real, o que dá
limntoinftyexpl(alphaln(an)r) =exp!l(limntoinftyalphaln(an)r) =expl(alphaln(a)r)

Passo 7

Mas exp(alphaln(a))=a^alpha. Juntando tudo, obtemos
limntoinfty(an)^alpha =limntoinftyexpl(alphaln(an)r) =a^alpha

Resposta

limntoinfty(an)^alpha=a^alpha

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