Diga se cada uma das funções abaixo é convexa, côncava ou nem convexa e nem côncava.
f(x, y)=ln (x^2+y^2+1), com x, y in R.

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
f(x,y)=lnl(x^2+y^2+1r), (x,y)inR^2
é convexa, côncava ou nenhuma das duas. O conteúdo que vamos usar é a caracterização de convexidade/concavidade via a matriz Hessiana: para f duas vezes diferenciável, f é convexa se a Hessiana é semidefinida positiva em todo ponto, côncava se é semidefinida negativa, e caso contrário é “nem convexa nem côncava”.

Passo 2

Vamos calcular a matriz Hessiana de f. Defina
t = x^2+y^2+1,
de modo que f(x,y)=ln t. Primeiro o gradiente:
nabla f = l(partial fpartial x,partial fpartial yr) = l(2xt,,2ytr)

Passo 3

Agora as derivadas segundas. Para o elemento partial^2fpartial x^2 temos
partialpartial xl(tfrac2xtr) = 2t - 2xcdot(2x)t^2 = 2t - 4x^2t^2
De modo análogo
partial^2fpartial y^2 = 2t - 4y^2t^2, partial^2fpartial xpartial y = -,4xyt^2
Portanto a Hessiana é
Hf(x,y) = 2t-4x^2t^2 & -4xyt^2 [1em] -4xyt^2 & 2t-4y^2t^2 ]

Passo 4

Para testar sinal da Hessiana, encontramos seus autovalores. Note que ela pode ser escrita como
que é a soma de uma matriz escalar com uma correção de posto . Os autovalores são
çã

Passo 5

Repare que
lambda1=tfrac2t>0 para todo (x,y), mas
lambda2>0 ;Leftrightarrow; 1 - x^2-y^2>0, lambda2=0 ;Leftrightarrow; x^2+y^2=1, lambda2<0 ;Leftrightarrow; x^2+y^2>1
Logo dentro do círculo unitário ( x^2+y^2<1) ambos autovalores são positivos e Hf é definida positiva ali. Para pontos com x^2+y^2>1, lambda2<0 enquanto lambda1>0, e a Hessiana torna-se indefinida.

Passo 6

Concluímos que Hf não é semidefinida positiva em todo R^2 (logo f não é convexa globalmente) e tampouco semidefinida negativa (pois sempre há autovalor positivo).

Resposta

A função f(x,y)=ln(x^2+y^2+1) é nem convexa nem côncava.

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