Diga se cada uma das funções abaixo é convexa, côncava ou nem convexa e nem côncava. , com .
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
é convexa, côncava ou nenhuma das duas. O conteúdo que vamos usar é a caracterização de convexidade/concavidade via a matriz Hessiana: para duas vezes diferenciável, é convexa se a Hessiana é semidefinida positiva em todo ponto, côncava se é semidefinida negativa, e caso contrário é “nem convexa nem côncava”.
Passo 2
Vamos calcular a matriz Hessiana de . Defina
de modo que . Primeiro o gradiente:
Passo 3
Agora as derivadas segundas. Para o elemento temos
De modo análogo
Portanto a Hessiana é
]
Passo 4
Para testar sinal da Hessiana, encontramos seus autovalores. Note que ela pode ser escrita como
que é a soma de uma matriz escalar com uma correção de posto . Os autovalores são
Logo dentro do círculo unitário (x^2+y^2<1) ambos autovalores são positivos e Hf é definida positiva ali. Para pontos com x^2+y^2>1, lambda2<0 enquanto lambda1>0, e a Hessiana torna-se indefinida.
Passo 6
Concluímos que Hf não é semidefinida positiva em todo R^2 (logo f não é convexa globalmente) e tampouco semidefinida negativa (pois sempre há autovalor positivo).
Resposta
A função f(x,y)=ln(x^2+y^2+1) é nem convexa nem côncava.
Cálculo - Humberto J. Bortolossi - Cálculo de Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização - 1ª Edição - Capítulo 11.11.7 - Ex. 52.a