[36] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se
é uma matriz simétrica positiva definida, então toda submatriz principal de
é positiva definida.
(b) Se
é uma matriz simétrica negativa definida, então toda submatriz principal de
é negativa definida.
(c) Se
é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os menores principais de
são maiores do que zero.
(d) Se
é uma matriz simétrica negativa definida, então todos os menores principais de ordem ímpar de
são menores do que zero e todos os menores principais de ordem par de
são maiores do que zero.
(a) Se
(b) Se
(c) Se
(d) Se
Passo 1
O enunciado gira em torno de matrizes simétricas definidas (positiva ou negativa) e suas submatrizes principais e menores principais. Vamos usar a definição de positividade/negatividade definida via forma quadrática
e a relação entre submatrizes principais e extensões de vetores com zeros, além de relacionar determinante de submatriz principal com menor principal.
Passo 2
(a) Queremos ver que, se
é simétrica e positiva definida, então toda submatriz principal de
também é positiva definida. Seja
a submatriz principal obtida selecionando índices em
. Tome qualquer vetor não nulo
e estenda-o a
definindo
se
(na posição correspondente) e
se
. Como
é positiva definida,
Mas
. Logo
para todo
, o que mostra que
é positiva definida. Portanto (a) é verdadeira.
Passo 3
(b) O argumento é análogo ao do item (a). Se
é simétrica e negativa definida, então para todo
vale
Para uma submatriz principal
, dado
em
estendemos como antes a
. Logo
mostrando que
é negativa definida. Logo (b) é verdadeira.
Passo 4
(c) Se
é simétrica e positiva definida, pelo item (a) toda submatriz principal
é positiva definida. Mas uma matriz positiva definida tem determinante positivo. Cada menor principal de ordem
é precisamente o determinante de alguma submatriz principal de tamanho
. Portanto todos esses menores principais são maiores que zero. Logo (c) é verdadeira.
Passo 5
(d) Agora
é simétrica e negativa definida. Defina
. Então
é simétrica e positiva definida, e pelos itens anteriores todo menor principal de ordem
de
satisfaz
. Mas
Logo
, que é negativo se
é ímpar e positivo se
é par. Assim (d) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.