[36] Diga se cada uma das sentenças abaixo é verdadeira ou falsa, apresentando uma justificativa caso ela seja verdadeira ou um contra-exemplo caso ela seja falsa.
(a) Se A é uma matriz simétrica positiva definida, então toda submatriz principal de A é positiva definida.
(b) Se A é uma matriz simétrica negativa definida, então toda submatriz principal de A é negativa definida.
(c) Se A é uma matriz simétrica positiva definida, então todos os menores principais de A são maiores do que zero.
(d) Se A é uma matriz simétrica negativa definida, então todos os menores principais de ordem ímpar de A são menores do que zero e todos os menores principais de ordem par de A são maiores do que zero.

Passo 1

O enunciado gira em torno de matrizes simétricas definidas (positiva ou negativa) e suas submatrizes principais e menores principais. Vamos usar a definição de positividade/negatividade definida via forma quadrática ,x^T A x e a relação entre submatrizes principais e extensões de vetores com zeros, além de relacionar determinante de submatriz principal com menor principal.

Passo 2

(a) Queremos ver que, se A é simétrica e positiva definida, então toda submatriz principal de A também é positiva definida. Seja AI a submatriz principal obtida selecionando índices em Isubset1,dots,n. Tome qualquer vetor não nulo xin R^|I| e estenda-o a yin R^n definindo yi=xj se iin I (na posição correspondente) e yi=0 se inotin I. Como A é positiva definida,
y^T A y > 0
Mas y^T A y = x^T AI x. Logo x^T AI x>0 para todo xneq0, o que mostra que AI é positiva definida. Portanto (a) é verdadeira.

Passo 3

(b) O argumento é análogo ao do item (a). Se A é simétrica e negativa definida, então para todo yneq0 vale
y^T A y<0
Para uma submatriz principal AI, dado xneq0 em R^|I| estendemos como antes a yin R^n. Logo
x^T AI x ;=; y^T A y ;<;0,
mostrando que AI é negativa definida. Logo (b) é verdadeira.

Passo 4

(c) Se A é simétrica e positiva definida, pelo item (a) toda submatriz principal AI é positiva definida. Mas uma matriz positiva definida tem determinante positivo. Cada menor principal de ordem k é precisamente o determinante de alguma submatriz principal de tamanho k. Portanto todos esses menores principais são maiores que zero. Logo (c) é verdadeira.

Passo 5

(d) Agora A é simétrica e negativa definida. Defina B=-A. Então B é simétrica e positiva definida, e pelos itens anteriores todo menor principal de ordem k de B satisfaz det(BI)>0. Mas
det(BI)=det((-1)AI)=(-1)^kdet(AI)
Logo det(AI)=(-1)^kdet(BI), que é negativo se k é ímpar e positivo se k é par. Assim (d) é verdadeira.

Resposta

(a) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados