Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O circuncentro está em um dos lados;
O circuncentro está em um dos lados;
Passo 1
O enunciado pede para identificar que tipo de triângulo satisfaz a condição “o circuncentro está em um dos lados”. O conteúdo envolve definição e posição do circuncentro num triângulo em função dos seus ângulos. Vamos usar a propriedade de que o circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes (perpendicular bisectors) e analisar onde ele cai para triângulos agudos, retos e obtusos.
Passo 2
Definição e posição do circuncentro:
O circuncentro de um triângulo é o ponto equidistante dos três vértices e obtido pela interseção das três mediatrizes. Sabe–se que
– em triângulo acutângulo, fica dentro do triângulo;
– em triângulo obtusângulo, fica fora do triângulo;
– em triângulo retângulo, fica exatamente no ponto médio da hipotenusa.
O circuncentro
– em triângulo acutângulo,
– em triângulo obtusângulo,
– em triângulo retângulo,
Passo 3
Conclusão a partir da posição:
Para que esteja sobre um dos lados do triângulo, o caso possível é o triângulo ser retângulo, pois só aí o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa. Logo, se
está sobre um lado, esse lado deve ser a hipotenusa.
Para que
Resposta
O triângulo deve ser retângulo, e o lado em que está o circuncentro é a hipotenusa.