Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O circuncentro está em um dos lados;

Passo 1

O enunciado pede para identificar que tipo de triângulo satisfaz a condição “o circuncentro está em um dos lados”. O conteúdo envolve definição e posição do circuncentro num triângulo em função dos seus ângulos. Vamos usar a propriedade de que o circuncentro é o ponto de interseção das mediatrizes (perpendicular bisectors) e analisar onde ele cai para triângulos agudos, retos e obtusos.

Passo 2

Definição e posição do circuncentro:
O circuncentro O de um triângulo é o ponto equidistante dos três vértices e obtido pela interseção das três mediatrizes. Sabe–se que
– em triângulo acutângulo, O fica dentro do triângulo;
– em triângulo obtusângulo, O fica fora do triângulo;
– em triângulo retângulo, O fica exatamente no ponto médio da hipotenusa.

Passo 3

Conclusão a partir da posição:
Para que O esteja sobre um dos lados do triângulo, o caso possível é o triângulo ser retângulo, pois só aí o circuncentro coincide com o ponto médio da hipotenusa. Logo, se O está sobre um lado, esse lado deve ser a hipotenusa.

Resposta

O triângulo deve ser retângulo, e o lado em que está o circuncentro é a hipotenusa.

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