Determine as medidas dos três ângulos obtusos formados pelas mediatrizes de um triângulo equilátero.

Passo 1

O enunciado pede as medidas dos três ângulos obtusos formados pelas três mediatrizes (perpendiculares aos lados no ponto médio) de um triângulo equilátero. Vamos usar duas ideias: (i) a mediatriz de um lado é perpendicular a esse lado, e (ii) o ângulo entre duas retas perpendiculares a outras duas retas é igual ao ângulo entre essas últimas.

Passo 2

Sejam mAB e mBC as mediatrizes de AB e de BC. Então
mABperp AB e mBCperp BC
O ângulo entre mAB e mBC é igual ao ângulo entre AB e BC, por conservar-se a medida quando giramos cada reta de 90^circ.

Passo 3

Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos internos valem 60^circ. Logo
ang<=(mAB,mBC)=60^circ
Por simetria, cada par de mediatrizes adjacentes forma 60^circ.

Passo 4

As três mediatrizes se encontram num ponto (o circuncentro) e formam seis ângulos ao redor dele, alternando 60^circ (ângulos agudos) e seus suplementares 180^circ-60^circ=120^circ (ângulos obtusos). Há exatamente três ângulos obtusos de 120^circ.

Resposta

120^circ,;120^circ,;120^circ

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