Determine as medidas dos três ângulos obtusos formados pelas mediatrizes de um triângulo equilátero.
Passo 1
O enunciado pede as medidas dos três ângulos obtusos formados pelas três mediatrizes (perpendiculares aos lados no ponto médio) de um triângulo equilátero. Vamos usar duas ideias: (i) a mediatriz de um lado é perpendicular a esse lado, e (ii) o ângulo entre duas retas perpendiculares a outras duas retas é igual ao ângulo entre essas últimas.
Passo 2
Sejam
e
as mediatrizes de
e de
. Então
O ângulo entre
e
é igual ao ângulo entre
e
, por conservar-se a medida quando giramos cada reta de
.
Passo 3
Como o triângulo é equilátero, todos os seus ângulos internos valem
. Logo
Por simetria, cada par de mediatrizes adjacentes forma
.
Passo 4
As três mediatrizes se encontram num ponto (o circuncentro) e formam seis ângulos ao redor dele, alternando
(ângulos agudos) e seus suplementares
(ângulos obtusos). Há exatamente três ângulos obtusos de
.