Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O incentro e o circuncentro são coincidentes;
O incentro e o circuncentro são coincidentes;
Passo 1
O enunciado pede para identificar qual tipo de triângulo faz com que o incentro
e o circuncentro
coincidam. O conteúdo aqui é geometria de triângulos e centros notáveis, e vamos usar a relação de Euler entre o raio da circunferência circunscrita (
), o raio da inscrevida (
) e a distância entre
e
.
Passo 2
Em qualquer triângulo vale a fórmula de Euler para a distância entre circuncentro e incentro:
Essa identidade relaciona
,
e
.
Passo 3
Se
e
coincidem, temos
. Substituindo em Euler:
Como
em um triângulo não degenerado, segue que
Passo 4
Existe a desigualdade de Euler para triângulos:
e a igualdade
ocorre se e somente se o triângulo for equilátero. Logo, a condição
implica que o triângulo deve ser equilátero.
Resposta
O triângulo que satisfaz a condição
é o triângulo equilátero.