Diga que triângulo satisfaz a condição dada nos casos:
O incentro e o circuncentro são coincidentes;

Passo 1

O enunciado pede para identificar qual tipo de triângulo faz com que o incentro I e o circuncentro O coincidam. O conteúdo aqui é geometria de triângulos e centros notáveis, e vamos usar a relação de Euler entre o raio da circunferência circunscrita ( R), o raio da inscrevida ( r) e a distância entre O e I.

Passo 2

Em qualquer triângulo vale a fórmula de Euler para a distância entre circuncentro e incentro:
OI^2 = R,(R - 2r)
Essa identidade relaciona OI, R e r.

Passo 3

Se O e I coincidem, temos OI=0. Substituindo em Euler:
0 = R,(R - 2r)
Como R>0 em um triângulo não degenerado, segue que
R - 2r = 0 Longrightarrow R = 2r

Passo 4

Existe a desigualdade de Euler para triângulos:
R >= 2r,
e a igualdade R=2r ocorre se e somente se o triângulo for equilátero. Logo, a condição OI=0 implica que o triângulo deve ser equilátero.

Resposta

O triângulo que satisfaz a condição I=O é o triângulo equilátero.

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