Considere os segmentos constituídos pelas três alturas, pelas três medianas e pelas três bissetrizes internas de um triângulo. Quantos desses segmentos, dois a dois distintos, teremos:
a) no triângulo equilátero;
b) no triângulo isósceles não equilátero;
c) no triângulo escaleno.

Passo 1

O enunciado pede que a gente conte quantos segmentos distintos aparecem quando listamos as três alturas, as três medianas e as três bissetrizes internas de um triângulo, nos três casos: equilátero, isósceles não equilátero e escaleno. Para resolver, vamos usar o fato de que em certos triângulos algumas dessas linhas notáveis coincidem.

Passo 2

No triângulo equilátero cada mediana coincide com a correspondente altura e a correspondente bissetriz. Assim, de cada vértice sai apenas um segmento único, totalizando
3 (vértices)times1 = 3é
segmentos distintos.

Passo 3

No triângulo isósceles não equilátero (suponha os lados 1 + 3 + 3 = 7 e base ):
– Do vértice (ângulo entre os lados iguais) a mediana, a altura e a bissetriz coincidem, gerando só 1 segmento.
– Nos vértices e essas três linhas são todas distintas em cada vértice, ou seja em e em .
Logo o total é
segmentos distintos.

Passo 4

No triângulo escaleno não há coincidência alguma entre altitude, mediana e bissetriz em nenhum vértice. Assim cada um dos 3times3 = 9 vértices contribui com segmentos distintos, totalizando
segmentos distintos.

Resposta

a)
b)
c)

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