Considere os segmentos constituídos pelas três alturas, pelas três medianas e pelas três bissetrizes internas de um triângulo. Quantos desses segmentos, dois a dois distintos, teremos:
a) no triângulo equilátero;
b) no triângulo isósceles não equilátero;
c) no triângulo escaleno.
a) no triângulo equilátero;
b) no triângulo isósceles não equilátero;
c) no triângulo escaleno.
Passo 1
O enunciado pede que a gente conte quantos segmentos distintos aparecem quando listamos as três alturas, as três medianas e as três bissetrizes internas de um triângulo, nos três casos: equilátero, isósceles não equilátero e escaleno. Para resolver, vamos usar o fato de que em certos triângulos algumas dessas linhas notáveis coincidem.
Passo 2
No triângulo equilátero cada mediana coincide com a correspondente altura e a correspondente bissetriz. Assim, de cada vértice sai apenas um segmento único, totalizando
segmentos distintos.
Passo 3
No triângulo isósceles não equilátero (suponha os lados
e base
):
– Do vértice (ângulo entre os lados iguais) a mediana, a altura e a bissetriz coincidem, gerando só 1 segmento.
– Nos vértices e
essas três linhas são todas distintas em cada vértice, ou seja
em
e
em
.
Logo o total é
– Do vértice
– Nos vértices
Logo o total é
segmentos distintos.
Passo 4
No triângulo escaleno não há coincidência alguma entre altitude, mediana e bissetriz em nenhum vértice. Assim cada um dos
vértices contribui com
segmentos distintos, totalizando
segmentos distintos.
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)