Exprima mediante fatoriais:
1 cdot 3 cdot 5 cdot ldots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede para expressar o produto dos primeiros n números ímpares,
ou seja,
1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1),
usando somente fatoriais.

Passo 2

Observe que o fatorial de 2n expande em todos os inteiros de 1 a 2n, e portanto pode ser escrito como o produto dos ímpares vezes o produto dos pares:
(2n)! = l(1cdot3cdot5cdots(2n-1)r),l(2cdot4cdot6cdots 2nr)

Passo 3

Calculemos o produto dos números pares de 2 até 2n. Como cada termo é 2k, para k=1,2,dots,n, temos
2cdot4cdot6cdots 2n = prodk=1^n(2k) = 2^n,(1cdot2cdot3cdots n) = 2^n,n!

Passo 4

Isolando o produto dos ímpares na expressão de (2n)!, obtemos
1cdot3cdot5cdots(2n-1) = (2n)!2cdot4cdot6cdots2n = (2n)!2^n,n!

Resposta

1 cdot 3 cdot 5 cdots (2n-1) = (2n)!2^n,n!

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