As dimensões de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 3, 6 e 9. Calcule essas dimensões, a área total e o volume do paralelepípedo, sabendo que a diagonal mede 63 cm .

Passo 1

O enunciado diz que temos um paralelepípedo retângulo cujas arestas são proporcionais a 3, 6 e 9. A diagonal mede 63,cm. O conteúdo aqui é usar proporcionalidade para expressar as arestas em função de um parâmetro k e depois usar a fórmula da diagonal de um paralelepípedo para determinar k. Em seguida calculamos as dimensões, a área total e o volume.

Passo 2

Seja a=3k, b=6k e c=9k as arestas do paralelepípedo. A diagonal d satisfaz
d = raiza^2 + b^2 + c^2
Logo,
d = raiz(3k)^2 + (6k)^2 + (9k)^2 = raiz9k^2 + 36k^2 + 81k^2 = raiz126,k^2 = raiz126,k

Passo 3

Como a diagonal mede 63,cm, temos
63 = raiz126,k
Como raiz126 = raiz9cdot14 = 3raiz14,
63 = 3raiz14;k Longrightarrow k = 633raiz14 = 21raiz14 = 21raiz1414 = 3raiz142

Passo 4

Substituindo k=tfrac3raiz142 em a=3k, b=6k, c=9k, obtemos as dimensões:
a = 3k = 3cdot3raiz142 = 9raiz142,cm, b = 6k = 6cdot3raiz142 = 9raiz14,cm, c = 9k = 9cdot3raiz142 = 27raiz142,cm

Passo 5

A área total S de um paralelepípedo é
S = 2(ab + bc + ac)
Aqui
ab = (3k)(6k) = 18k^2, bc = (6k)(9k) = 54k^2, ac = (3k)(9k) = 27k^2,
logo
ab + bc + ac = 18k^2 + 54k^2 + 27k^2 = 99k^2, S = 2cdot99k^2 = 198,k^2
Como
k^2 = l(3raiz142r)^2 = 9cdot144 = 1264 = 31,5,
segue
S = 198 times 31,5 = 6237;cm^2

Passo 6

O volume V é dado por
V = a,b,c = (3k)(6k)(9k) = 162,k^3
Temos
k^3 = l(3raiz142r)^3 = 27,( raiz14)^38 = 27cdot14,raiz148 = 378,raiz148 = 189,raiz144,
portanto
V = 162 times 189,raiz144 = 306184,raiz14 = 153092,raiz14 ;cm^3 approx 28655;cm^3

Resposta

As dimensões são
9raiz142,cm, 9raiz14,cm, 27raiz142,cm;
a área total é 6237,cm ^2;
o volume é 153092raiz14,cm ^3 (aprox. 2,8655times10^4,cm ^3).

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