Discuta os seguintes sistemas nas incógnitas x e y :
-x-2 y & =-a x -2 x+a y & =y

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função do parâmetro a, o sistema linear nas incógnitas x e y:
-x - 2y = -a,x, -2x + a,y = y
O conteúdo envolvido é resolução de sistema linear homogêneo com parâmetro e discussão de existências de soluções via determinante da matriz dos coeficientes.

Passo 2

Reescrevemos cada equação de modo a coletar x e y do mesmo lado:
Da primeira equação
-x - 2y = -a,x
passa para
-x + a,x - 2y = 0 Longrightarrow (a-1)x - 2y = 0
Da segunda equação
-2x + a,y = y
passa para
-2x + a,y - y = 0 Longrightarrow -2x + (a-1)y = 0
Logo, o sistema é homogêneo
(a-1)x - 2y = 0, -2x + (a-1)y = 0

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante:
A = a-1 & -2 -2 & a-1 ,
det(A) = (a-1)^2 - (-2)cdot(-2) = (a-1)^2 - 4
Para resolver o sistema homogêneo, há solução não trivial se e somente se det(A)=0.

Passo 4

Analisando det(A):
det(A) = 0 Long<=ftrightarrow (a-1)^2 = 4 Long<=ftrightarrow a-1 = pm 2 Longrightarrow a = 3 ;ou; a = -1
Se a neq 3 e a neq -1, então det(A)neq 0 e o sistema homogêneo admite apenas a solução trivial
x=0, y=0

Passo 5

Quando a=3 ou a=-1, tem-se det(A)=0 e infinitas soluções (sistema degenerado). Vamos achar a reta de soluções em cada caso:
Para a = 3, a primeira equação fica
(3-1)x - 2y = 0 Longrightarrow 2x - 2y = 0 Longrightarrow x = y
Logo as soluções são
x = t, y = t, tinR
Para a = -1, a primeira equação fica
(-1-1)x - 2y = 0 Longrightarrow -2x - 2y = 0 Longrightarrow x + y = 0 Longrightarrow y = -x
Logo as soluções são
x = t, y = -t, tinR

Resposta

Para a neq 3 e a neq -1, o sistema tem única solução trivial (x,y) = (0,0).
Para a = 3, tem infinitas soluções na reta x = y.
Para a = -1, tem infinitas soluções na reta y = -x.

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