Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
Resolva o sistema pela regra de Cramer:
Solução
Admitindo e , temos:


então, resulta o seguinte sistema:





Notemos que e .
A solução do sistema é .

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Cramer, o sistema constituído pela equação
x+y+z=1
e pelas condições de proporção
2x-y3z+2 ;=;z+12x+y;=;1
O conteúdo é resolução de sistemas lineares 3times3 pela regra de Cramer. Precisaremos primeiro transformar as proporções em duas equações lineares, sob a hipótese de denominadores não nulos.

Passo 2

Assumindo
3z+2neq0 e 2x+yneq0,
as igualdades
2x-y3z+2=1
e
z+12x+y=1
implicam, respectivamente,
2x - y = 3z + 2 Longrightarrow 2x - y - 3z = 2,
z + 1 = 2x + y Longrightarrow 2x + y - z = 1

Passo 3

Reunindo com a primeira equação, obtemos o sistema linear
x + y + z = 1, 2x - y - 3z = 2, 2x + y - z = 1

Passo 4

Calculemos o determinante D da matriz dos coeficientes:
D = 1 & 1 & 1 2 & -1 & -3 2 & 1 & -1 =1l((-1)(-1)-(-3)cdot1r) -1l(2cdot(-1)-(-3)cdot2r) +1l(2cdot1-(-1)cdot2r) =4-4+4=4neq0

Passo 5

Determinante Dx, substituindo a primeira coluna pelo vetor dos termos constantes (1,2,1):
Dx = 1 & 1 & 1 2 & -1 & -3 1 & 1 & -1 =1l((-1)(-1)-(-3)cdot1r) -1l(2cdot(-1)-(-3)cdot1r) +1l(2cdot1-(-1)cdot1r) =6
Logo
x = DxD = 64 = 32

Passo 6

Determinante Dy, substituindo a segunda coluna por (1,2,1):
Dy = 1 & 1 & 1 2 & 2 & -3 2 & 1 & -1 =1l(2cdot(-1)-(-3)cdot1r) -1l(2cdot(-1)-(-3)cdot2r) +1l(2cdot1-2cdot2r) =-5
Logo
y = DyD = -54

Passo 7

Determinante Dz, substituindo a terceira coluna por (1,2,1):
Dz = 1 & 1 & 1 2 & -1 & 2 2 & 1 & 1 =1l((-1)cdot1-2cdot1r) -1l(2cdot1-2cdot2r) +1l(2cdot1-(-1)cdot2r) =3
Logo
z = DzD = 34

Resposta

A única solução do sistema, respeitando 3z+2neq0 e 2x+yneq0, é
l(x,y,zr)=l(tfrac32,,-tfrac54,,tfrac34r)

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