Discuta os seguintes sistemas nas incógnitas x e y :
a x-y & =1 (a-1) x+2 a y & =4

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear em
O objetivo é discutir para quais valores de (a] o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso vamos usar o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e, quando possível, a regra de Cramer.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante D:
D = a & -1 a-1 & 2a = acdot(2a) - (-1)cdot(a-1) = 2a^2 + a - 1
Fatorando,
D = 2a^2 + a - 1 = (2a - 1),(a + 1)

Passo 3

O sistema terá solução única se D neq 0, e será singular (ou seja, sem ou com infinitas soluções) se D = 0. Logo:
- D neq 0 para a neq tfrac12 e a neq -1.
- D = 0 para a = tfrac12 ou a = -1.

Passo 4

Caso
Somando as duas: o sistema é incompatível (sem solução).

Passo 5

Caso
A segunda é equivalente a . Logo, para o sistema também é incompatível.

Passo 6

Para aneq tfrac12 e aneq -1 temos Dneq 0 e, portanto, solução única. Pelas matrizes de Cramer:
Dx = 1 & -1 4 & 2a = 2a + 4, Dy = a & 1 a-1 & 4 = 3a + 1
Logo,
x = DxD = 2a+42a^2+a-1 = 2(a+2)(2a-1)(a+1), y = DyD = 3a+12a^2+a-1 = 3a+1(2a-1)(a+1)

Resposta

Para aneq tfrac12 e aneq -1 o sistema tem solução única dada por
x = 2(a+2)(2a-1)(a+1), y = 3a+1(2a-1)(a+1)
Para a = tfrac12 ou a = -1 o sistema é incompatível (sem solução).

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