O objetivo é discutir para quais valores de (a] o sistema tem solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. Para isso vamos usar o cálculo do determinante da matriz dos coeficientes e, quando possível, a regra de Cramer.
Passo 2
Montamos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante :
Fatorando,
D = 2a^2 + a - 1 = (2a - 1),(a + 1)
Passo 3
O sistema terá solução única se D neq 0, e será singular (ou seja, sem ou com infinitas soluções) se D = 0. Logo:
- D neq 0 para a neq tfrac12 e a neq -1.
- D = 0 para a = tfrac12 ou a = -1.
Passo 4
Caso
Somando as duas: o sistema é incompatível (sem solução).
Passo 5
Caso
A segunda é equivalente a . Logo, para o sistema também é incompatível.
Passo 6
Para aneq tfrac12 e aneq -1 temos Dneq 0 e, portanto, solução única. Pelas matrizes de Cramer:
x = DxD = 2a+42a^2+a-1 = 2(a+2)(2a-1)(a+1), y = DyD = 3a+12a^2+a-1 = 3a+1(2a-1)(a+1)
Resposta
Para aneq tfrac12 e aneq -1 o sistema tem solução única dada por
x = 2(a+2)(2a-1)(a+1), y = 3a+1(2a-1)(a+1)
Para a = tfrac12 ou a = -1 o sistema é incompatível (sem solução).
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 374.d