Discuta, segundo os valores do parâmetro a, o sistema:
x+4 y-5 z & =0 2 x-y+3 z & =0 3 x+a y+2 z & =0

Passo 1

O enunciado pede para discutir, em função do parâmetro a, as soluções do sistema homogêneo
x + 4y - 5z = 0, 2x - y + 3z = 0, 3x + a,y + 2z = 0
O conteúdo necessário é a teoria de sistemas lineares homogêneos, determinante da matriz dos coeficientes e classificação por posto.

Passo 2

Formamos a matriz dos coeficientes
e calculamos pelo desenvolvimento na primeira linha:

Passo 3

Calculamos os menores:
Substituindo,

Passo 4

Como é sistema homogêneo, sempre existe a solução trivial (x,y,z)=(0,0,0).
  • Se aneq313, então det A=3-13aneq0, o posto é 3 e o sistema tem única solução:
(x,y,z)=(0,0,0)

Passo 5

Se a=tfrac313, então det A=0 e o posto é 2 (há um grau de liberdade), logo soluções infinitas não-triviais. Para achar a forma geral, tomemos z=t. Das duas primeiras equações:
2x - y + 3t=0implies y=2x+3t,
x+4y-5t=0implies x+4(2x+3t)-5t=0implies9x+7t=0implies x=-tfrac79t
Então
y=2l(-tfrac79tr)+3t=tfrac139t,
e a solução geral é
(x,y,z) =tl(-tfrac79,;tfrac139,;1r) Long<=ftrightarrow (x,y,z)=s,(-7,13,9),;sinR

Resposta

Para aneq313: única solução (0,0,0).
Para a=313: infinitas soluções, dadas por
(x,y,z)=s,(-7,13,9), sinR

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