Discuta o sistema:
m x+y & =-2 -2 x+y-z & =m 4 x+y+m z & =-5

Passo 1

O enunciado pede a discussão do sistema linear com parâmetro
O que precisamos é determinar para quais valores de (m] o sistema tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução, usando os conceitos de determinante e compatibilidade de sistemas lineares.

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes
A = m & 1 & 0 -2 & 1 & -1 4 & 1 & m
e calculamos seu determinante por expansão na primeira linha:
det A = mdet1 & -11 & m -1det-2 & -14 & m = m(m+1)-l(-2m+4r) = m^2+3m-4 =(m+4)(m-1)
Logo det A=0 se, e somente se, m=1 ou m=-4.

Passo 3

Para mneq1 e mneq-4 temos det Aneq0, logo o sistema é compatível determinado. Eliminando por substituição ou usando Cramer, obtemos
x=-m+3m+4, y=m^2+m-8m+4, z=-m+2m+4

Passo 4

Caso
que ao resolver por eliminação leva a uma única relação redundante e uma variável livre (por exemplo .

Passo 5

Caso
cuja eliminação leva a contradição (-2=-\tfrac{3}{4}]. Portanto o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para mneq1,-4 o sistema tem solução única dada por
x=-m+3m+4, y=m^2+m-8m+4, z=-m+2m+4
Para m=1 há infinitas soluções. Para m=-4 não há solução.

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