Mostre que o sistema:
x+ m y+(m-1) z & =1 (m-1) x+ y+ m z & =1 m x+(m-1) y+ z & =1
é determinado para todo m real e não nulo.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com parâmetro
Queremos mostrar que ele é determinado para todo .

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes:
A = 1 & m & m-1 m-1 & 1 & m m & m-1 & 1
Para ver se o sistema é determinado, calculamos det(A).

Passo 3

Usando a regra de Sarrus ou expansão por cofactores, chega-se a
det(A) =2,m,(m^2 - 3,m + 3)

Passo 4

Observe que o trinômio m^2 - 3,m + 3 tem discriminante
De<a = (-3)^2 - 4cdot1cdot3 = 9 - 12 = -3 < 0,
logo m^2 - 3,m + 3>0 para todo minR. Assim
det(A)=2,m,(m^2 - 3,m + 3)neq0 Long<=ftrightarrow mneq0

Resposta

O sistema é determinado para todo minRsetminus0 porque det(A)=2m(m^2-3m+3)neq0 sempre que mneq0.

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