Mostre que as retas de equação
, variável
cortam-se duas a duas e que entre elas não existem três passando por um mesmo ponto.
cortam-se duas a duas e que entre elas não existem três passando por um mesmo ponto.
Passo 1
O enunciado define, para cada parâmetro real
, a reta
Precisamos mostrar dois fatos de Geometria Analítica:
- Se
, então e se intersectam num único ponto (isto é, cortam-se duas a duas). - Não há três retas
, , com , , distintos que sejam concorrentes (isto é, não passam todas por um mesmo ponto).
Passo 2
Considere dois valores distintos
Este é um sistema linear em ((x,y)]. Se mostrarmos que ele tem solução única, provamos que as retas se cortam exatamente num ponto.
Passo 3
Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
Como
, podemos fatorar e dividir por
:
Passo 4
Substituindo
em qualquer das duas equações (por exemplo na primeira), temos
Logo o sistema tem exatamente uma solução
o que prova que
e
se intersectam num único ponto.
Passo 5
Agora suponha, por absurdo, que existam três valores distintos
,
,
tais que
,
e
sejam concorrentes num mesmo ponto
. Então
Repetindo o mesmo raciocínio de subtrações, da primeira e segunda equações vem
, e da primeira e terceira vem
. Logo
o que contradiz a hipótese
. Portanto não podem haver três retas
,
,
distintas que se encontrem num mesmo ponto.
Resposta
As retas
com parâmetros distintos
cortam-se duas a duas em ponto único, e não existem três delas passando simultaneamente pelo mesmo ponto.