Mostre que as retas de equação
x+a y+a^2=1(a in R, variável )
cortam-se duas a duas e que entre elas não existem três passando por um mesmo ponto.

Passo 1

O enunciado define, para cada parâmetro real a, a reta
L(a):;x + a,y + a^2 = 1
Precisamos mostrar dois fatos de Geometria Analítica:
  1. Se aneq b, então L(a) e L(b) se intersectam num único ponto (isto é, cortam-se duas a duas).
  2. Não há três retas L(a), L(b), L(c) com a, b, c distintos que sejam concorrentes (isto é, não passam todas por um mesmo ponto).

Passo 2

Considere dois valores distintos
Este é um sistema linear em ((x,y)]. Se mostrarmos que ele tem solução única, provamos que as retas se cortam exatamente num ponto.

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos
(a - b),y ;+;(a^2- b^2) ;=;0
Como aneq b, podemos fatorar e dividir por a-b:
y + (a + b) = 0 Longrightarrow y = -,(a + b)

Passo 4

Substituindo ,y = -,(a + b) em qualquer das duas equações (por exemplo na primeira), temos
x + al(- (a+b)r) + a^2 = 1 ;Longrightarrow; x -a^2-a b + a^2 = 1 ;Longrightarrow; x = 1 + a b
Logo o sistema tem exatamente uma solução
l(x,yr) = l(1 + a b,,-(a + b)r),
o que prova que L(a) e L(b) se intersectam num único ponto.

Passo 5

Agora suponha, por absurdo, que existam três valores distintos a, b, c tais que L(a), L(b) e L(c) sejam concorrentes num mesmo ponto (x,y). Então
x + a,y + a^2 = 1, x + b,y + b^2 = 1, x + c,y + c^2 = 1
Repetindo o mesmo raciocínio de subtrações, da primeira e segunda equações vem y=-(a+b), e da primeira e terceira vem y=-(a+c). Logo
-(a+b) = y = -(a+c) ;Longrightarrow; a + b = a + c ;Longrightarrow; b = c,
o que contradiz a hipótese bneq c. Portanto não podem haver três retas L(a), L(b), L(c) distintas que se encontrem num mesmo ponto.

Resposta

As retas x + a y + a^2 =1 com parâmetros distintos a cortam-se duas a duas em ponto único, e não existem três delas passando simultaneamente pelo mesmo ponto.

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