Resolva o sistema:
l log 2(x+y+z)=0 log y(x+z)=1 log 3 5+log 3 x=log 3(y-z)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
log2(x+y+z)=0, logy(x+z)=1, log35+log3x=log3(y-z),
que envolve propriedades de logaritmos e depois exigir as condições de existência dos logaritmos:
– Para log2(x+y+z) é preciso x+y+z>0.
– Para logy(x+z) é preciso x+z>0, y>0 e yneq1.
– Para log3x e log3(y-z) é preciso x>0 e y-z>0.

Passo 2

Use propriedades de logaritmo para transformar cada equação em forma algébrica:
  1. log2(x+y+z)=0 implica
x+y+z=2^0=1
  1. logy(x+z)=1 implica
x+z=y^1=y
  1. log35+log3x=log3(y-z) implica
log3(5x)=log3(y-z)Longrightarrow y-z=5x

Passo 3

O sistema linear equivalente é
x + y + z = 1, x + z = y, y - z = 5x
Da segunda equação vem y = x+z. Substituindo em x+y+z=1
x + (x+z) + z = 1Longrightarrow 2x+2z=1Longrightarrow x+z=tfrac12,
logo y=tfrac12. Então z=tfrac12 - x. Na terceira equação:
y-z=5xLongrightarrow tfrac12 -(tfrac12 - x)=5xLongrightarrow x=5xLongrightarrow x=0
Isso leva a y=tfrac12 e z=tfrac12.

Passo 4

Verificamos as condições de existência dos logaritmos:
x>0 exigido por log3x, mas achamos x=0: não satisfaz.
– Mesmo que x+z=tfrac12>0 e y=tfrac12>0, o valor x=0 torna log3x indefinido.
Portanto, não há tripla (x,y,z) real que satisfaça simultaneamente as equações e as restrições de domínio.

Resposta

O sistema não possui solução real.

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