O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z, com parâmetros a e b:
2x - y + 3z = a, -,x + 2y - a z = b, a x - a y + 6z = 2
O conteúdo é discussão de sistema linear: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há solução única e, no caso do determinante nulo, usar eliminação de Gauss para analisar existência e infinitude de soluções.
Passo 2
A matriz dos coeficientes é
A = 2 & -1 & 3 -1 & 2 & -a a & -a & 6
Usando a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores, obtemos
De<a = det A =2cdotl(2cdot6 - (-a)(-a)r) -(-1)cdotl((-1)cdot6 -(-a)cdot ar) +3cdotl((-1)(-a)-2cdot ar)
Logo De<aneq0 sempre que aneq3 e aneq-6, garantindo solução única (pelo teorema de Cramer).
Passo 3
Caso
Eliminando (ª)(ª) e (ª) subtraída de (ª)) a duas linhas não nulas:
Para consistência, essas duas devem ser proporcionais, o que exige
Se , as duas linhas coincidem e o sistema tem posto tanto na matriz de coeficientes quanto na ampliada, logo infinitas soluções. Se , surge uma linha e o sistema é incompatível.
Passo 4
Caso
Aplicando eliminação (por exemplo ª)(ª) e (ª)(ª)), obtemos duas linhas iguais em coeficientes e termos independentes e . A consistência pede
Para , posto igual a em ambas as matrizes e infinitas soluções. Para , linha inconsistente e nenhuma solução.
Resposta
Para a neq 3 e a neq -6: única solução.
Para a = 3: bul<=tb = 1Rightarrow infinitas soluções. bul<=tb neq 1Rightarrow sem solução.
Para a = -6: bul<=tb = -5Rightarrow infinitas soluções. bul<=tb neq -5Rightarrow sem solução.
Cálculo - Gelson Iezzi, Samuel Hazzan - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 4: Sequências, matrizes, determiantes e sistema - 8ª Edição - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 403