Discuta o sistema:
l 2 x-y+3 z=a -x+2 y-a z=b a x-a y+6 z=2

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de três equações e três incógnitas x,y,z, com parâmetros a e b:
2x - y + 3z = a, -,x + 2y - a z = b, a x - a y + 6z = 2
O conteúdo é discussão de sistema linear: vamos calcular o determinante da matriz dos coeficientes para ver quando há solução única e, no caso do determinante nulo, usar eliminação de Gauss para analisar existência e infinitude de soluções.

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = 2 & -1 & 3 -1 & 2 & -a a & -a & 6
Usando a regra de Sarrus ou expansão por co-fatores, obtemos
De<a = det A =2cdotl(2cdot6 - (-a)(-a)r) -(-1)cdotl((-1)cdot6 -(-a)cdot ar) +3cdotl((-1)(-a)-2cdot ar)
Simplificando,
De<a = 24 - 2a^2 + (a^2-6) -3a =18 - a^2 -3a =-(a-3)(a+6)
Logo De<aneq0 sempre que aneq3 e aneq-6, garantindo solução única (pelo teorema de Cramer).

Passo 3

Caso
Eliminando ( ª) ( ª) e ( ª) subtraída de ( ª)) a duas linhas não nulas:
Para consistência, essas duas devem ser proporcionais, o que exige
Se , as duas linhas coincidem e o sistema tem posto tanto na matriz de coeficientes quanto na ampliada, logo infinitas soluções. Se , surge uma linha e o sistema é incompatível.

Passo 4

Caso
Aplicando eliminação (por exemplo ª) ( ª) e ( ª) ( ª)), obtemos duas linhas iguais em coeficientes e termos independentes e . A consistência pede
Para , posto igual a em ambas as matrizes e infinitas soluções. Para , linha inconsistente e nenhuma solução.

Resposta

Para a neq 3 e a neq -6: única solução.
Para a = 3:
bul<=t b = 1 Rightarrow infinitas soluções.
bul<=t b neq 1 Rightarrow sem solução.
Para a = -6:
bul<=t b = -5 Rightarrow infinitas soluções.
bul<=t b neq -5 Rightarrow sem solução.

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