Discuta o sistema abaixo:
l a x+3 a y=0 2 x+a y=4

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear com parâmetro
O conteúdo é discussão de sistema linear segundo o valor de (a]. Vamos usar o determinante e, quando necessário, verificar compatibilidade.

Passo 2

Calculamos o determinante da matriz dos coeficientes:
D = a & 3a 2 & a = a cdot a - 3a cdot 2 = a^2 - 6a = a(a-6)
Assim, o sistema é:
  • possível e determinado se D neq 0 (i.e.\ a neq 0 e a neq 6),
  • singular se D = 0 (i.e.\ a = 0 ou a = 6).

Passo 3

Caso aneq0 e aneq6, a primeira equação dá, dividindo por a,
x + 3y = 0 Longrightarrow x = -3y
Substituindo em 2x + a y = 4:
2(-3y) + a y = 4 ;Longrightarrow; (a - 6),y = 4 ;Longrightarrow; y = 4a-6,
e portanto
x = -3,4a-6 = -12a-6
Há única solução
l(x,yr) = l(-tfrac12a-6,,tfrac4a-6r)

Passo 4

Caso
logo a primeira equação é trivial e a segunda dá , com livre. Há infinitas soluções:

Passo 5

Caso a=6, da primeira equação vem
6x + 18y = 0 ;Longrightarrow; x = -3y
Na segunda:
2(-3y) + 6y = 4 ;Longrightarrow; -6y + 6y = 4 ;Longrightarrow; 0 = 4,
contradição. Logo o sistema é incompatível (sem solução).

Resposta

Para cada a:
1. Se aneq0 e aneq6, solução única
(x,y)=l(-tfrac12a-6,,tfrac4a-6r) 2. Se a=0, infinitas soluções ,(x,y)=(2,t),,tinR 3. Se a=6, não há solução.

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